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本文主要考虑三个问题:
1.对于半线性偏微分方程-△u=R(x)eu,x∈ R2若R1(x)<0,且R(x)关于原点对称,满足条件∫R2 R(x)eu(x)dx<∞.则此方程的解也关于原点对称.
此问题证明思想就是首先得到方程的解在无穷远处的渐近性,并且得出方程所有的解都满足一个恒等式,此恒等式便是著名Kazdan-Warner条件的一个推广,然后便可以利用解的渐近性和被Li[1]完善的移动平面法.最后证明只要R(x)关于原点对称且单调非减,则此半线性偏微分方程的所有解也是关于原点对称.
2.对于积分方程u(x)=∫Rn1/|x-y|n-αeu(y)dy在∫Rnen/αu(y)dy<∞的条件下,其中α是0<α
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