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本文研究了有限域Fq上几类超曲面Fq-有理点的个数，并对其中某些超曲面，计算出他们的zeta函数。本文还研究了有限域上方程子域解问题等。设F=Fq是一个q元有限域，q=pf，f≥1，p是一个奇素数。
在第一章中，我们研究了有限域F上几类方程。
第一类方程是：a1x1d11…xn1d1n1+…+an1x1dn11…xn1dn1n1+an1+1x1dn1+11…xn2dn1+1n2+…+an2x1dn21…xn2dn2n2=b，这里，dij＞0，ai∈F*，b∈F,0＜n1≤n2.这是一类阶梯方程。第二类方程是：
a1x1d11+…+anx1dn1…xndnn=b，这里，n为正整数，dij(1≤i，j≤n)为非负整数，a1，…，an∈F*且b∈F。我们就称这类方程为三角方程。
第三类是更一般的阶梯方程，它是一、二类方程的推广。
对这三类方程我们首先通过组合方法研究其解数并得到有理的直接公式，第一类方程改进了孙琦在数学年刊(1997(4))上的一个结果，特别在gcd(d11…dnn，q-1)=1的条件下，有关三角方程的有理直接公式是十分有趣的，所用的方法也颇具新意。接下来，我们采用特征和技巧研究一般的三角方程的解数问题得到一个可以与经典对角方程类比的估计定理。
在第二章中，我们主要利用已得到的结果研究了三角方程对应超曲面的射影簇的Zeta函数，给出其可计算的公式，并用所得到的公式计算出一些具体超曲面的Zeta函数。
在第三章中，我们引入了方程的弱形式子域解问题。采用特征和技巧以及Weil特征和估计，对三角方程的弱形式子域解数给出了有意义的估计。