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本文主要给出一类非线性方程组的唯一性定理及其在三个方面的应用,分四部分.第一部分,一类非线性方程组的唯一性定理.定理1设函数列Fk(x1,x2,...,xn),k=1，2,...，n及其偏导数(?)Rk(x1，x2，...,xn)(?)xj，k，j=1，2，...，n在连通区间D内连续.若对于每一个m，1≤m≤n及任意给定的n-m个值｛ym+1，...，yn｝,存在一组值｛εm，1，...,εm.n｝,|εm,k|=1，k=1,2,...,m,使得含m个未知数x1,x2...,xm的方程组总有解xk=Zk,k=1，...，m，且解满足和则对于每一个m,1≤m≤n和任意给定的一组值｛ym+1，...，yn｝,方程组(1)有唯一解.特别地,当m=n时,方程组(1)有唯一解.第二部分,唯一性定理在幂正交多项式方面的应用.定理2设dμ为(a,b)上的测度,且μ∈C(a,b).又设minl≤k≤nmk=1时，μ∈C1(a，b)且μ’(x)>0，x∈(a，b).则存在唯一的向量x∈X满足Φn(x)=infy∈xΦnn(y).应用唯一性定理1,给出此定理另一个简单的证明.第三部分,唯一性定理应用于广义Chebyshev系上Gauss型求积公式.此部分与第四部分考察的结点向量为：我们记Ak，j(x)∈PN为插值基本多项式,其中还记以及定理3设U是[a，b]上N+1维ET空间.又设μ∈C[a，b],dμ是[a，b]上测度.当min1≤k≤nmk=1时,进一步假定μ∈C1(a，b)和μ’(x)>0, x∈(a，b).则对于任意给定的一个向量x2∈X2,存在唯一的向量x1∈X1,使得对于每一个函数μ∈U,向量x=(x1,x2)都满足Gauss型求积公式及性质利用唯一性定理1,本文给出了此定理另一个简洁的证明.第四部分,Gauss Birkhoff求积公式.在前人基础上,首先得到两个重要引理,在这两引理成立的条件下,我们便于得到后面的结果,同时两引理本身也是有意义的结论.引理1设E是插值矩阵.对于确定的指数k,j,r,ek,j=1,-≤r≤n,则有引理2设dμ为[a,b]上测度，μ∈C[a,b],且n×(N+1)阶矩阵E不包含奇的非Hermite序列.又设E中1≤k≤m行为Hermite行,再进一步设定1≤k，r≤m.如果r=k时有mk≥2,则同时此外,如果给定一向量x2∈X2,向量x1∈X1是规范方程组的解,则向量x=(x1，x2),1≤k，r≤m满足关系式而后我们得到了本论文的两个主要结果.定理4设dμ是[a，b]上测度，μ∈C[a,b].又设n×(N+1)阶Polya矩阵E不包含奇的非Hermite序列.则对于任意给定的一个向量x2∈X2,存在向量x1∈X1,使得向量x=(x1xx2)满足GGBQF及性质(3).进一步,对于向量x∈X,以下叙述等价：(a)向量x满足GGBQF(5)及性质(3)；(b)向量x满足规范方程组(4)；(c)向量x满足正交关系式这里V(x)={P∈PN：P(j)(xk)=0, ek*,j=1,ek*,j∈E*｝,x∈X,E*为将插值矩阵E中每行(k,mk-1),1≤k≤m位置的1去掉所得到的矩阵,S(x；x)如(2)所示.定理5设定理1的假设成立,又设min1≤k≤nmk=1时,μ严格单调递增.如果E中满足条件-≤k≤m的每一行皆为Hermite行,则对于任意给定的一个向量x2∈X2，存在唯一的向量x1∈X1使得向量x=(x1,x2)满足GGBQF(5)及性质(3).较之Nikolov中存在性定理和唯一性定理,他定理的限制条件极其复杂、繁琐,我们对他的条件进行极大弱化,从而得到定理4及定理5,同时利用唯一性定理1,我们还给出了两定理很简洁的证明.