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上世纪二十年代,R.Nevanlinna引进了亚纯函数的特征函数并且以此创立了著名的Nevanlinna理论,被著名数学家Weyl评价为二十世纪最伟大的数学成就之一.它不仅奠定了现代亚纯函数的基础,并且对其他数学分支的交叉与融合产生了重要的影响,比如丢番图逼近,非阿基米德分析等.Nevanlinna理论主要由Nevanlinna第一基本定理和Nevanlinna第二基本定理组成,它们是经典函数理论发展史上的重大突破,其中第二基本定理极大地推广了Picard定理.Nevanlinna理论还得到不断的自我完善和发展。同时还广泛的应用于其他领域的研究,如亚纯函数唯一性理论,正规族,复动力系统和复微分方程等等.
亚纯函数唯一性理论是值分布理论的重要分支,主要研究有且仅有一个函数满足的条件.早期,R.Nevanlinna本人证明了著名的Nevanlinna五值(四值)定理,即两个亚纯函数如果分担扩充复平面上的五个(四个)判别值则他们相同(互为线性变换),从此拉开了亚纯函数唯一性理论研究的序幕.半个多世纪以来,国外数学家F.Gross,M.Ozawa,G.Frank,E.Mues,N.Steinmetz,H.Ueda,G.Gundersen及我国数学家熊庆来,杨乐,杨重骏,仪洪勋等在唯一性理论方面取得了令人瞩目的成果,使之得到了蓬勃的发展.
亚纯函数与其导数的分担值问题是亚纯函数唯一性理论的一个重要研究课题.1977年,Rubel-Yang[36]研究了整函数及其导数具有两个CM公共值的情形.其后,MuesSteinmetz[35],杨连中[44],Gundersen[14],Frank-Weissenborn[11]等不断改进并推广了有关结果.但是关于亚纯函数与其导数具有一个CM公共值的问题,直到1996年才由Raider Brück提出了Brück猜想,而后也有不少学者经过深入研究取得了许多成果,其中,Fang-Hua[7],Zhang-Lin[51],Q.C.Zhang[49]还深入研究了亚纯函数与其微分多项式分担一个值的问题.
本文主要介绍作者在扈培础教授的精心指导下做的关于亚纯函数在其微分多项式分担一值时的唯一性问题,全文共分三章.
第一章,作者扼要介绍了本文的研究背景,Nevanlinna理论中的常用记号,并叙述了亚纯函数理论中的一些基本概念和结果.
第二章,我们主要研究了当一些更为一般的微分多项式[fnP(f)](k)分担一值时整函数的唯一性问题,我们极大地改进了Zhang-Lin[51]的一些结论.主要结论如下:定理2.1.设f(z)和g(z)是两个非常值的整函数,P(f)=amfm+am-1fm-1+…+aifi(am≠0,ai≠0,0≤I≤m),其中,n,k,m是三个满足条件n＞2k+m+4的正整数,如果[fnP(f)](k)和[gnP(g)](k)分担1 CM,那么有下面两者之一成立:
(1)若0≤I＜m,则或者f(z)≡g(z)或者f,g满足代数体方程R(f,g)≡0,其中R(w1,w2)=w1nP(w1)-w2nP(w2).
(2)若I=m,则或者f(z)≡tg(z),其中t是一个满足条件tn+m=1的常数,或者f(z)=c1ecz,g(z)=c2e-cz,其中c1,c2和c是三个常值满足条件:(-1)ka2m(c1c2)n+m[(n+m)c]2k=1.
关于IM分担值的问题,在n,k,m满足条件n+m＞(5k+7)(m+1)时,我们也有如下定理成立.在这个定理的证明过程中,我们巧妙地引用了有关亏量的引理2.4,这不仅使得证明过程简单化,而且使我们的结果更为精确.
定理2.2.设f(z)和g(z)是两个超越整函数.令P(f)=amfm+am-1fm1+…+aifi(am≠0,ai≠0,0≤I≤m),其中n,k,m是三个满足条件n+m＞(5k+7)(m+1)的正整数,如果[fnP(f)](k)和[gnP(q)](k)分担1IM,那么有下面两者之一成立:(1)若0≤I＜m,则f和g满足代数体方程R(f,g)≡0,其中,R(w1.w2)=wn1P(w1)-wn2p(w2).(2)若I=m,则或者f(z)≡tg(z),其中t是一个满足条件tn+m=1的常值,或者f(z)=c1ecz,g(z)=c2e-cz,其中c1,c2和C是三个常值满足下列条件:(-1)ka2m(c1c2)n+m[(n+m)c]2k=1.
第三章,我们主要研究当微分多项式fnp(f)f不计重数分担一值时有关亚纯函数的唯一性问题,推广了由Zhang Chen和Lin[50]所得出的结果,主要结果如下:
定理3.1.设f和g是两个超越亚纯函数,且n和m是两个满足条件n＞11m+22的正整数,令P(z)=amzm+am-1zm-1+…+a1z+a0,其中a0(≠0),a1,…,am-1,am(≠0)是复数.如果fnP(f)f和gnP(g)g分担1 IM,那么或者f≡tg其中常数t满足条件td=1,并且d=(n+m+1,…,n+m+1-I,…,n+1),am-I≠0,I:0,1,…,m,或者f和g满足代数体方程R(f,g)≡0,其中R(w1,w2)=wn1+1(amwm1/n+m+1+am-1wm1-1/n+m+…+a0/n+1)-wn2+1(amum1/n+m+1+am-1w2m-1/n+m+…+a0/n+1).
在这个定理证明之前我们首先通过对所构造的函数进行讨论分析得出了对定理证明有重要作用的引理3.6(详见第3.3节).除了考虑IM分担值问题外,我们也可以利用I.Lahiri引进的加权思想来考虑分担值的本性,从而得出下述定理.
定理3.2.设f和g是两个非常值亚纯函数,且n和m是两个满足条件n＞max(m+10,3m+3)的正整数,令P(z):amzm+am-1zm-1+…+a1z+a0,其中a0(≠0),a1,…,am-1,am(≠0)是复数.如果fnP(f)f和gnP(g)g分担(1,2),那么定理3.1的结论依然成立.
自然地,我们会想除了加权思想外是否可以用别的方法来进一步削弱分担值的本性呢?下面的定理3.3利用了截断的思想来解决了这个问题.
定理3.3.设f和g是两个非常值亚纯函数,且n和m是两个满足条件n＞max(m+10,3m+3)的正整数,令P(z)=amzm+am-1zm-1+…+a1z+a0,其中a0(≠0),a1,…,am-1,am(≠0)是复数.如果fnP(f)f和gnP(g)g满足条件E3)(1,fnP(f)f)=E3)(1,gnP(g)g),那么定理3.1的结论依然成立.