解的几何性质是椭圆偏微分方程理论中一个基本的问题.对方程解的凸性的研究，既是分析研究的重要内容，也是研究方程本身的需要.方程的解是否凸；若非凸，是否为部分凸，这样的凸性问题是一个长期以来倍受关注的话题，本文讨论的是解的一种部分凸性：k-凸，即解的Hessian矩阵的任意k个特征值的和在何种条件下为非负.在微分几何与偏微分方程领域，对解的k-凸性质的研究都很感兴趣.本文利用强极值原理，给出了Rn上半线性偏微分方程k-凸解的常秩定理，并利用常秩定理和连续性方法得到预定平均曲率的的k-凸超曲面的存在性.全文共四章，　　 第一章介绍了凸性研究史上的一些经典结果，并为后面要用到的一些名词和符号进行必要的说明.　　 第二章给出了IRn上Poisson方程的k-凸解的常秩定理，分两部分，第一部分讨论了2-凸解的常秩定理，基本的想法都蕴含于其中.第二部分讨论k>3的情形.　　 第三章得到了sn上半线性方程七-凸解的常秩定理.　　 第四章给出了Rn上预定平均曲率的k-凸星形超曲面的存在性.