图谱理论在物理、量子化学、计算机科学、通讯网络以及信息科学等众多领域都有着广泛的应用。图的拉普拉斯（Laplacian)谱和无符号拉普拉斯谱(Q-谱)是图的谱理论的重要组成部分,相关主要研究内容：一是借助Laplacian矩阵和无符号Laplacian矩阵(Q-矩阵)研究图的结构特性,二是研究与图的Q矩阵、Laplacian矩阵相关的数值不变量.近年来,常见的数值不变量有Laplacian谱、Q-谱、图的代数连通度、Kirchhoff指标和Q-矩阵系数等.设Kp是p阶完全图,取Kp的任意r(1≤ r≤ p)个顶点分别点粘接r棵树,所得到的n阶图集记为Ln,p。　　本文主要研究图的拉普拉斯（Laplacian)矩阵和图的无符号拉普拉斯矩阵,研究内容涉及两个相关的重要研究课题：一是图的谱刻画,即确定相同谱的图类,二是与图的Q矩阵、Laplacian矩阵相关的数值不变量的极值问题,即确定规定的图类中具有最大或最小数值不变量的图.主要研究内容如下：⑴刻画了第四大Q-特征值ν4<2的图的特性，并给出了满足ν4<2的所有连通图；⑵研究了Ln,p图类的代数连通度，分别确定了Ln,p图类中具有最大、最小以及第二小代数连通度的图；⑶研究了Ln,p图类的Kirchhoff指标，分别确定了Ln,p图类中具有最大、前五小Kirchhoff指标的图；⑷研究了Ln,p图类的Q-特征多项式的系数，分别确定了Ln,p图类中具有极大、极小系数ζi(1≤i≤n)的图。