【摘 要】
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本文主要就具有某些特殊性的可积模型构造其无穷对称及Lie代数结构,而在若干环节中应用对称的变换理论.这些模型和它们的特点是：·广义Manakov方程和Sasa-Satsuma方程：它们在非线性光学中具有重要应用,但是都对应于三阶谱问题,与常见的两阶矩阵谱问题不同.·变系数KdV方程：系数为t的函数,在Painleve可积的条件下,与KdV方程之间存在规范变换.·Toda链：当|n|—∞时,两位势中
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本文主要就具有某些特殊性的可积模型构造其无穷对称及Lie代数结构,而在若干环节中应用对称的变换理论.这些模型和它们的特点是：·广义Manakov方程和Sasa-Satsuma方程：它们在非线性光学中具有重要应用,但是都对应于三阶谱问题,与常见的两阶矩阵谱问题不同.·变系数KdV方程：系数为t的函数,在Painleve可积的条件下,与KdV方程之间存在规范变换.·Toda链：当|n|—∞时,两位势中的一个渐近于1.而不是都渐近于0.论文首先研究推广的Manakov方程和Sasa-Satsuma方程的对称.推广的Man-akov方程为二阶耦合的非线性Schrodingcr方程,Sasa-Satsuina方程则为三阶方程,它们在数学上的共同特点是都对应于三阶矩阵谱问题,均可由多分量AKNS方程约化得到,我们利用约化技巧将四个分量的AKNS方程族的对称和李代数分别约化成具有两个分量的推广的Manakov方程和具有标量形式的Sasa-Satsuma方程的对称和李代数.如何在自变量个数减少时保持Lie括号约化的封闭性,是本章工作的关键环节.为此,在Sasa-Satsuma方程的约化过程中我们借助了规范变换.另外,利用多分量AKNS方程族的递推算子的逆辛-辛分解讨论了多分量AKNS方程族的多Hamilton结构.其次,论文讨论变系数KdV方程的对称.对于变系数KdV方程,我们引入了它的两类方程族,利用Hirota方法和Wronskian技巧分别讨论非等谱变系数KdV方程的孤子解,利用准递推算子的性质以及两类伴随流与准递推算子的关系讨论变系数KdV方程的两组对称K-对称和T-对称及其李代数结构.上述结果也可以在规范变换下得到实现,我们将重点讨论利用对称变换理论给出变系数KdV方程的两组对称和李代数结构.最后论文讨论Toda链方程族的对称.对于Toda链谱问题关键在于选取合适的谱参数λ与时间变元t的演化关系,使得在等谱流和非等谱流在|n|→∞时,un和un分别充分快地趋向于1和0的情形下,都渐近于零.然后利用零曲率表示获得递推算子的遗传性,得到Toda链方程族的两组对称及其相应的李代数结构.而（un·τn）→（1,0）（当|n|→∞时）.这一特点既为零曲率表示理论提供了更广泛的应用,也引出了新的李代数结构.
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