凸体几何是现代几何学的-个重要分支，凸体的极值研究是凸体几何研究中一个重要课题.近几年来，Lp-质心体，与截面体密切相关的Busemann-Petty问题，都引起了凸体几何领域的广泛关注。 本硕士论文以凸体的体积不等式为主要研究内容。本文共分三个部分。首先介绍了几何分析的发展历史和研究现状。在第二章中首先论述了Lp-质心体的单调性不等式，然后从Lp-质心体的一个包含关系式入手，得到了反向包含关系；其次用Lp-质心体的支撑函数估计了凸体截面体积的上下界；截面体在解决Busemann-Petty问题的过程中起到了关键性的作用，在第三章中，我们从Giannapoulos对一类新的半截面定义的范数出发，给出Busemann-Petty问题的-个几何推广，并建立了它的解；作为方法的应用，我们还得到了关于该半截面的Funk截面定理。