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本文主要围绕几何分析中两个问题开展研究,一是研究黎曼流形上抛物方程正解的梯度估计.二是研究闭流形上共形Ricci曲率流下关于共轭热方程正解的单调泛函.首先,在度量固定的流形上,分别得到了当无穷维Bakry-(?)mery Ricci曲率有界时一类抽象的非线性抛物方程正解的局部椭圆型(Souplet-Zhang型)梯度估计;Bakry-(?)mery Ricci曲率积分条件下加权热方程正解的局部抛物型(Li-Yau型)梯度估计和Ricci曲率积分有界时热方程正解的一种整体椭圆型梯度估计.并给出了这些梯度估计在证明抛物型Liouville定理、方程解的存在性、完备流形上的Yamabe问题以及Cheeger-Colding的极限分裂理论的推广等方面的应用.其次,在度量随几何流演化的流形上,证明了在Ricci-Bourguignon流下一类倒向的非线性抛物方程正解的微分Harnack估计.最后,研究了闭流形上当度量随共形Ricci曲率流演化时,关于共轭热方程正解的单调泛函及其应用.针对上述研究内容,本文具体工作如下:第一章,我们回顾了度量固定和度量演化流形上不同曲率条件下梯度估计的研究背景和最新进展,介绍了各种几何流下单调泛函的发展历程与现状.并在此基础上给出了本论文的主要研究工作.第二章,我们建立了度量固定的流形上抛物方程正解的梯度估计.在S2.1中,证明了无穷维Bakry-(?)mery Ricci曲率逐点有负下界时,一类抽象的非线性抛物方程正解的局部椭圆型梯度估计,并给出了该估计在证明抛物方程的Liouville定理和完备流形上的Yamabe问题中的应用.在S2.2中,一方面,研究了在光滑度量可测空间上,Bakry-(?)mery Ricci曲率的积分条件下加权热方程正解的局部抛物型梯度估计.作为应用,得到了Bakry-(?)mery Ricci曲率积分条件下的Abresch-Gromoll过剩函数估计和距离函数与其抛物逼近函数之间的一些近似性质,这些结论为研究积分曲率条件下Cheeger-Colding的在Gromov-Hausdorff收敛意义下的极限分裂理论提供了重要条件.另一方面,证明了紧流形上当Ricci曲率的积分有界时热方程正解的一种整体椭圆型梯度估计.第三章,我们证明了在Ricci-Bourguignon流下一类倒向的具有位势项的非线性抛物方程正解的微分Harnack估计.特别地,考虑了不带位势项的倒向非线性抛物方程的Hamilton型梯度估计,利用此估计说明了非线性抛物方程的正解不会爆破太快.第四章,我们构造了一类共形Ricci曲率流下关于共轭热方程正解的单调泛函,并给出两种方法证明其单调性.且由该泛函进一步研究了共形Ricci曲率流下的体积非塌缩定理.