本文主要利用拓扑度理论中的不动点定理和变分方法中的极小作用原理及其环绕形式的临界点定理在适当的条件下讨论了一类二阶椭圆边值问题的可解性. 第一章绪论：介绍了拓扑度理论和变分方法的发生，发展及本文将要研究的内容. 第二章相关知识简介：主要介绍本文将要用到的数学基本概念和定理，给出了将椭圆边值问题转化为某个算子不动点问题或者求解某个对应泛函临界点问题的一般方法. 第三章关于不动点理论和变分方法在椭圆边值问题的具体应用，介绍了根据非线性项的不同而对椭圆边值问题进行分类的一些情况，并系统地介绍了利用极小作用原理和环绕形式的临界点定理得到的关于椭圆边值问题的若干可解性结果. 第四章主要利用环绕形式的临界点定理，在推广的Ahmad-Paul-Lazer条件下，得到了椭圆边值共振问题的可解性结果，并给出了弱解存在的一些条件，并且在限制非线性项在零点增长的条件下，利用(推广)山路引理，得到了非平凡解的存在性结果.最后，我们在限定非线性项在无穷远处某类增长的条件下，得到了推广的Ahmad-Paul-Lazer条件成立的一个充分条件.