【摘 要】
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本文的研究内容分为以下两个方面.首先,探讨了有限群不变式中的超曲面问题.在研究有限群与其子群不变式的关系时,T-函子被证明是一有力工具.本文研究了T-函子对超曲面的作用.我们证明了在Steenrod代数上的不稳定代数范畴中,T-函子不会增加作用对象的嵌入维数.进而有T-函子在不稳定代数范畴内保持超曲面这一结论.从而可知如果有限群的不变式是超曲面,那么它稳定子群的不变式也是超曲面.反之则不然,本文给
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本文的研究内容分为以下两个方面.首先,探讨了有限群不变式中的超曲面问题.在研究有限群与其子群不变式的关系时,T-函子被证明是一有力工具.本文研究了T-函子对超曲面的作用.我们证明了在Steenrod代数上的不稳定代数范畴中,T-函子不会增加作用对象的嵌入维数.进而有T-函子在不稳定代数范畴内保持超曲面这一结论.从而可知如果有限群的不变式是超曲面,那么它稳定子群的不变式也是超曲面.反之则不然,本文给出了反例,即当一个群的所有稳定子群或所有Sylow p-子群的不变式是超曲面时,群本身的不变式不一定是超曲面.其次,本文还对稠密随机块图的一些参数性质进行了讨论.在研究各种网络中的社区结构时,随机块模型已经被证实是最成功的工具之一.我们讨论的稠密随机块图是一种简单无向随机图.此模型在给定某个有限集作为块集的基础上,根据某个固定法则独立地对每个顶点指派一个块集中元素,然后依据顶点隶属的块集相互独立地给出顶点之间的连接概率.为了探讨此模型在其顶点数趋于无穷时的渐近性态,定义了稠密随机块图的经验对测度,用来测量任意给定块对之间的边数.并给出经验块测度,用以计算给定块下的顶点数.即主要研究的问题是在相应的弱拓扑条件下,如何给出这些测度的大偏差原则.在定义了弱拓扑所对应的一种度量之后,推导出条件概率下经验对测度的大偏差,得到了其速率函数的具体形式.再根据混合大偏差理论取得了联合分布的大偏差,证明了其速率函数的下半连续性,测度序列的指数紧密性等性质.进而得到稠密随机块图边密度的大偏差.最后,给出了这种估计在实际问题中的应用算例.
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