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Cleǎn环起源于在模消去中起着重要作用的exchange环的研究,clean环以其简洁的表现形式和深刻的内涵吸引着众多代数学者展开深入的研究。在clean环研究过程中,涌现出许多相关环类并引出许多深刻的问题,例如Nicholson提出的关于强clean环的五个公开问题。Clean环的研究已成为近期国际环论界研究的热点。
本文通过强clean环,强clean一般环,唯一强clean环,2-clean环以及g(x)-clean环的研究,加深了对环的clean性的理解,解决了一些公开问题,得到了一些有趣的结果,同时通过考虑矩阵环,三角矩阵环和群环获得了许多clean环及相关环类的例子。
通过对交换局部环上二阶矩阵环的研究构造了一个例子,否定回答了Nicholson提出的两个公开问题,并在一般环讨论的基础上给出了其中一个问题后半部分的证明,即强clean环的每个corner仍是强clean的。
首次提出惟一强clean环的概念,证明了交换惟一(强)clean环上的任意三角矩阵环是惟一强clean的,同时利用矩阵单位给出了惟一强clean环的结构定理,即环R是惟一强clean的当且仅当对任意的a∈R存在惟一的e<2>=e使得ea=ae且a-e∈J(R)。
通过对2-clean环的进一步研究,发现任意环上秩不小于2的自由模的自同态环是2-clean的,从而说明任意不小于2阶的有限阶矩阵环,行有限矩阵环和列有限矩阵环是2-clean的,此外还证明了任意ω×ω行列有限矩阵环是2-clean的。
通过考虑g(x)-clean环与clean环之间的关系得到,环R是g1(x)-clean的当且仅当R是clean的且b-ω∈U(R),这里g1(x)=(x-a)(x-b)且a,b∈C(R)。从而表明了在Camillo-Simón定理或Nicholson-Zhou定理所考虑的情形下g(x)-clean环和clean环实际上是等价的。