在泛函分析的基础理论中,关于映射级数的收敛性的讨论,一般说来有两个方面.其一,针对各种形式的收敛(例如,子级数收敛,乘数收敛等),讨论相关的对偶不变量或者全程不变量.这一方面,最具代表性的结论就是各种版本的Orlicz-Pettis型定理.其二,针对各种各样的序列空间,讨论其上映射级数的逐点收敛性或一致收敛性.这一方面,典型的结论是关于序列赋值收敛的最强内蕴意义以及矩阵类的刻划等.纵观现有的已经成形的结论,前者大部分是关于线性映射的;而后者通常是建立在Banach空间上的.因此,本文分别从映射和空间的角度,对以下问题进行了探讨:　　首先,对某些版本的Orlicz-Pettis定理进行了改进. Orlicz-Pettis型定理是泛函分析的历史中最具趣味性和实用性的定理之一.原始的Orlicz-Pettis定理是说在赋范线性空间中,级数如果依弱拓扑是子级数收敛的,那么依范数拓扑也是子级数收敛的.第一个Orlicz-Pettis型定理是1929年建立起来的.至今,该定理分别在空间(如局部凸空间,具有Schauder基的拓扑线性空间,算子空间等),在收敛形式(如乘数收敛,子级数统计收敛等),在拓扑(如Mackey拓扑,强拓扑等)等方面都取得了重要的改进.本文对乘数空间给出了相关的性质,建立了关于乘数收敛级数和双准齐性算子的Orlicz-Pettis型定理,并讨论了对现有版本的改进情况。　　其次,在局部凸空间上探讨了序列赋值收敛的最强内蕴意义.关于经典的Banach序列空间c0(X)、lp(X)(0< p<+∞)和l∞(X),相应的结论已被建立.由于局部凸空间上的拓扑可以看成是由一族半范生成的,因此可以在局部凸空间上利用半范族定义各种各样的向量值序列空间.本文对局部凸空间X上的c0(X)、lp(X)(0< p<+∞)和l∞(X),研究了相应的序列赋值收敛的最强内蕴意义,并试图应用到更多的序列空间上去.　　再次,给出了某些特殊的非线性算子矩阵类的一般刻划.在矩阵变换的经典理论中,一个基本问题是如何刻划一类由一个序列空间(或仅仅是序列的集合)到另一个序列空间(或序列的集合)的映射矩阵.对Banach空间上的线性算子矩阵类的刻划已经基本完善.而对于拓扑线性空间上的向量值序列空间,关于非线性映射矩阵类的刻划,还有很多有待研究的地方.本文针对拓扑线性空间上的向量值序列空间上的不同的假定,分别给出了关于准齐性算子或者在零点值为零的非线性算子的矩阵类的刻划.　　最后,讨论了具有非平凡半线性对偶的拓扑线性空间的存在性.局部凸空间上已经有了完善的对偶理论.但是,对某些Fr′echet空间来说,其对偶可能是平凡的.于是通常的对偶理论失去了应用的价值,从而对于通常的对偶的任何合理扩张将是有意义的.李容录等针对半线性映射建立了相应的半线性对偶理论.通过将连续线性泛函族替换成连续半线性泛函族,定义了半线性对偶对.于是许多通常对偶对的性质可以推广到半线性对偶对上.本文在此基础上,进一步研究了具有非平凡的半线性对偶的拓扑线性空间.这些空间的存在性,增大了半线性对偶理论的适用范围.