本文中统一给出了Virasoro-Toroidal（包括仿射）李代数的顶点算子表示,并给出了仿射李代数(除G₂^（1）)顶点模的不可约分解。同时给出了一系列的李型幂级数恒等式和一些整数分划定理。 在本文中我们研究了不同类型仿射李代数顶点表示之间的关系,利用这种关系对构造的BCF型的顶点表示给出了完全的不可约分解。这里面主要是归结到C型顶点模的结构。同样的,这种对应关系使得我们能够把一系列的形式幂级数写成乘积的形式,这些结果在数论中有很重要的意义。 主要结果有: （1） 统一构造了Virasoro-toroidal（包括toroidal和仿射的情况）李代数的顶点表示(除A_2l^（2）单独构造); （2） 给出了相应顶点表示的不可约分解（除G₂外）; （3） 一个关于整数分划的定理; （4） 给出了水平一的李型幂级数和水平二的A型幂级数的乘积形式。 （5） 给出（q,q⁶）_∞^-1（q⁵,q⁶）_∞^-1三种不同的“乘积和”表达形式。