几个分数阶偏微分方程的李对称分析

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近年来,随着对非线性模型研究的深入,人们在研究整数阶微分方程的同时也开始注重分数阶微分方程的研究。分数阶非线性模型主要来源于两个方面,一方面是物理、信号处理、生物学、控制理论等实际应用领域,另一方面是人工转化原有的整数阶方程为分数阶。作为研究分数阶偏微分方程重要手段和方法之一的李对称群,在理论和应用方面都取得了很大的进展。本文利用李对称方法研究了三类分数阶偏微分方程的对称分类、精确解构造问题。具体内容安排如下:第一章,首先介绍了分数阶微分和李对称理论的发展背景和当前的研究进展。之后,给出了本文中将会用到的分数阶导数和李对称的相关定义。第二章,首先分析了生物种群模型的李对称情形,获得了7组有限维无穷小生成元。同时将模型约化为(1+1)维的偏微分方程,然后借助F-展开法获得生物种群模型的三类精确解。最后,利用幂级数法构造出该模型的一个幂级数解。第三章,分析一类分数阶广义扩散方程的对称群,在分析过程中,根据方程的参数将方程分为了两种情况,获得了两种情况下的对称分类。之后,利用特征方程法将方程约化为常微分方程。最后,利用行波约化和幂级数法得到了该方程的幂级数解。第四章,首先介绍了什么是分数阶子方程法。然后,利用该方法研究了一类分数阶广义Kd V方程,获得了该方程8类双曲函数和三角函数形式的精确解,并描绘了精确解的图像。
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