我们分四部分介绍.第一部分为Obata定理及其推广，第二部分为warped乘积空间中的自相似解以及加权的Minkowski不等式，第三部分为Bakry-Emery瑞奇曲率的单调性公式，第四部分为梯度瑞奇孤立子.　　Ⅰ.Obata定理及其推广　　我们考虑推广的Obata方程:▽dw+f(w)g=0.(1)如果假设w有至少一个临界点，我们有下面的定理.　　定理0.1.设(Mn，g)，n≥2是一完备的黎曼流形，且存在非常数的光滑解w满足推广的Obata方程(1)，其中f(s)是一光滑函数.设w有至少一个临界点，那么M微分同胚于Rn或Sn.另外，(M，g)等距于Mf，μ，其中μ=w（p）.　　如果给f加一些条件，事实上没有必要假设w有临界点.　　定理0.2.设(M，g)是一光滑的完备黎曼流形，其中n≥2，且存在非常数的光滑解满足推广的Obata方程(1),其中f是强制的，那么M=Mf，μ对某个μ.特别地,M微分同胚于Sn或Rn.　　定理0.3.设(M，g)是一光滑的完备黎曼流形，其中n≥2，且存在非常数的光滑解满足推广的Obata方程(1),其中f退化强制的，那么M微分同胚于Rn.如果n≥2，那么(M，g)等距于Mf，μ对某个μ.　　定理0.4.设（M，g）是一光滑的完备黎曼流形，其中n≥2，且存在非常数的光滑解满足推广的Obata方程(1),其中f非退化强制的，那么M微分同胚于Sn.如果n≥2，那么(M，g)等距于Mf，μ对某个μ.　　如果存在非常数的光滑解w满足推广的Obata方程(1)，那么(M，g)具有warped乘积结构.　　定理0.5.w为（M，g）上非常数的光滑解且满足推广的Obata方程(1).令I表示w的像Iw的内部.取μ∈I，令N=w-1(μ），Ω=w-1(I).那么（N，gN）是连通的完备流形，并且存在微分同胚F:I×N→Ω使得对所有(s，p)满足w(F(s，p))=s.拉回度量F*g是warped乘积度量且由(2.40)给出.另外，M=(Ω)且(a)Ω至多包含两个点，每个点是w的最大值点或者最小值点.　　相反地，如果(N，gN)是一黎曼流形，h(s)是区间I上的光滑正函数，那么在I×N上w=s满足推广的Obata方程，其中f=-1/2h，且I×N赋予度量h-1ds2+h/α2gN.　　下面我们考虑Obata方程的双曲版本，▽dw-wg=0.(2)令Wh(M，g)表示方程(2)的解空间.　　定理0.6.设（Mn，g）是一完备的黎曼流形，其中n≥2.令Wh=Wh(M，g).那么dim Wh≥n当且仅当(M，g)等距于Hn.因此，如果dim Wh≥n，那么dim Wh=n+1.　　定理0.7.设(Mn，g)是一完备的黎曼流形，其中n≥2.令Wh=Wh(M，g).那么dim Wh=n-1当且仅当（M，g）具有常截面曲率-1且微分同胚于Rn-1×S1(等价地，π1(M)=Z).精确的讲，dim Wh=n-1当且仅当(M，g)等距于Hn-1cosh(S1(ρ))或Hn-2cosh(Hexp(S1(ρ）））对某个ρ＞0.(前面的包含一条闭的测地线而后面的没有.）　　下面的定理给出了解空间Wh(Mn，g)为一般维数时(Mn，g)的刻画.　　定理0.8.设(Mn，g)为一完备的黎曼流形.设1≤k≤n-1，那么dim Wh(M，g)≥k当且仅当M等距于Hkcosh(N，gN)或Hk-1cosh(Hexp(N，gN)）其中（N，gN）是一n-k维的完备黎曼流形.　　如果(M，g)为非完备的，我们也有类似的定理.　　引理0.9.如果M是Sn中的开区域，那么dim Ws(M，g)=n+1.　　定理0.10.令(M，g)为Sn中一连通的黎曼流形.那么dim Ws(M，g)≥n当且仅当(M，g)等距于Sn中的一开区域.　　引理0.11.Wh(Hn，g)=span{x1，x2，…，xn，xn+1}.　　定理0.12.设(M，g)为Hn中一连通的黎曼流形.那么dim Wh(M，g)≥n当且仅当(M，g)等距于Hn中一开区域.　　Ⅱ.Warped乘积空间中的自相似解以及加权的Minkowski不等式　　设∑是Rn中一闭的嵌入可定向光滑曲面.自相似方程定义如下:H=，(3)这里v是∑的单位外法向，H是平均曲率，X是位置向量.　　如果我们将欧氏度量写为g=dr(×) dr+r2gSn-1，那么X=r(a)/(a)r.　　这里我们考虑流形M=N×[0，a）并赋予如下度量，(g)=dr(×)dr+φ(r)2gN.(4)同样我们假设∑是M中一闭的嵌入可定向光滑曲面.类似于(3)，形式地我们定义自相似方程为H=，这里X=φ(r)(a)/(a)r，v是∑的单位外法向，H是平均曲率.　　下面是我们关于自相似解的结果.　　定理0.13.设∑是M中一光滑的超曲面，设它的平均曲率为正且满足H=.如果外围空间M有非负的截面曲率且(R)（ei，ej，ek，v）=0，这里ei，ej，ek是∑的单位切标架，v是∑的单位外法标架，那么▽A≡0，i.e.∑的第二基本型是平行的.　　我们考虑warped乘积空间（M，(g)）且赋予测度(dvol)=e-fdvol((g))，这里(g)如(3.3)给出.这里我们选择特殊的f满足(▽)2f=φg，i.e.f(r)=∫r0φ(s)ds.　　我们假设φ满足下面的条件.　　（H1）φ(r)=r·ξ(r2)，这里ξ:[0，a）→R是一光滑正函数且满足ξ(0)=1.　　（H2）对所有的r∈(0，a)，有φ（r）＞0　　(H3)函数2φ"(r)/φ(r)-(n-2)1-φ(r)2/φ(r)2是非递减的.　　(H4)φ(r)2≥φ(r)φ"(r).　　我们得到下面加权的不等式.　　定理0.14.设M是一warped乘积流形且满足(H1)-(H4)，设∑是一闭的星形超曲面且满足Hf＞0.那么我们有下面的不等式，(n-1)∫∑φ/Hfe-fdv≥n∫Ωφe-n/n-1fdvol，这里Ω是∑所包围的区域.　　Ⅲ.单调性公式　　关于测度e-f dvol，自伴随的f拉普拉斯为△f=△-▽f·▽.考虑f拉普拉斯的正的格林函数G(x0，·)（见定义4.6）.对任意实数k＞2，令b=G1/2-k.对β，l，p∈R，适当的b，我们考虑Aβf(r)=r1-l∫b=r|▽b|β+1e-f，Vβ,pf(r)=rp-l∫b≤r|▽b|2+β/bpe-f.r＞0时Aβf(r)是良好定义的， Vβ,pf,p(r)是良好定义的如果C(n，k，p)=（n-2）（k-p）-β（k-n）＞0.(5)证明的细节见引理4.9.如果k=l=n，β=2，p=0，这些约化为[23]中的A(r)，V(r).如果k=l=n，p=2，这些是[26]中的Aβ，Vβ.　　首先我们得到b的梯度估计.　　命题0.15.如果光滑的度量测度空间(Mn，g，e-fdvol)(n≥3)满足RicNf≥0，那么对k=n+N，存在r0＞0，使得在MB(x0，r0)上，|▽b(y)|≤C(n，N，r0).(6)　　如果RicNf≥0，我们得到关于A和V的线性组合的单调性公式.　　定理0.16.如果Mn（n≥3）满足RicNf≥0，那么，对k≥n+N，k≤l≤2k-2，α=3k-p-l-2并且C(n，k，p)＞0，(Aβf-αVβ,pf)(r)≥rp-1-l∫b≤rβ|▽b|β-2/4bp{|Hessb2-△b2/ngb|2+4(β-2)b2|▽|▽b||2}e-f.(7)所以如果β≥2，那么Aβf-αVβ,pf关于r是非递减的.　　如果RicNf≥0，我们得到关于A的单调性公式.　　定理0.17.如果Mn(n≥3）满足RicNf≥0，那么对β≥2，k=l=n+N，有(Aβf)(r)≤0，（Vβ,pf）(r)≤0对p＜n+N-βN/n-2.事实上(Aβf)（r）≤-β/4rk-3∫b≥rb2-2k|▽b|β-2| Hess2-△b2/ng|2e-f.(8)如果Ricf≥0，我们得到关于A以及A和V的线性组合的单调性公式.　　定理0.18.如果Mn（n≥4）满足Ricf≥0，那么对β=2，p=0，k≥12，l=3/2k-1，我们有(Aβf-(3/2k-1)Vβ,pf）(r)≥0;对β=2，k≥12，l=3/2k-1），r2≥r1＞0，我们有(Aβf)(r2)≥(Aβf)(r1).　　Ⅳ.梯度瑞奇孤立子　　首先我们给出一个有用的引理，它用于证明下面的曲率界.　　引理0.19.假设(Mn，g(t))是瑞奇流的古代解.假设对任意的时间t≤0黎曼流形(Mn，g(t))是完备的，并且它的截面曲率非负.令V(t)为(Mn，g(t))的渐近体积比，那么V(t)关于t是非递减的.　　下面我们得到满足某些条件的Ricci flow的曲率界.　　引理0.20.设(M，g(t))是一瑞奇流的永恒解，并且它的复截面曲率非负，假设(M，g(0))有欧氏体积增长，那么存在一致的常数C，对任意的（p，t）∈M×(0，∞)，有R(p，t)≤C/t.(9)　　作为应用，我们得到某些梯度扩张孤立子的曲率界.　　推论0.21.(M，g)是一梯度扩张孤立子，并且它的复截面曲率非负.假设（M，g）具有欧氏体积增长，那么曲率是有界的.