设Q(x)=XTAX是一个非奇异的二次型，其判别式为△.这里行向量X=(X1，X2….，Xm)∈Zm，其中m≥2；XT为X对应的列向量；A=(Ai,j)1≤i,j≤m是一个对称矩阵，其判别式为△=DetA.我们称二次型Q(X)正定的，如果其对应的矩阵A是一个正定矩阵. 给定一个非负整数n，我们考虑如下集合R(n，Q):={x=(X1，X2…，Xm)∈Zm：X≠0，Q(X)=n).并且记r(n，Q)=＃R(n，Q).二次型表示理论中一个最基本的问题，是对于给定的n和Q，判定R(n，Q)是否为空集.这个问题被许多数学家研究过(参考文献[2]，[4],[7]，[8]，[27]，[28]).如果集合R(n，Q)非空，我们希望给出其元素个数，r(n，Q)的一个上界.参考文献[16]研究了四元二次型，给出了这种情况下的r(n，Q)的上界.参考文献[22]给出了对应三元二次型的结果。 二次型中，二元二次型是比较特殊的一种，它与虚二次域中理想的算术性质有关.在十九世纪末期，一般情况下的理论也有了系统性的发展.其最初的贡献是由Minkowki，Hasse，Siegd三位数学家做出的。Minkowski建立了数的几何理论，解决了二次型的等价性问题；他提出用同余的方法研究二次型，使得对任一个给定的二次型，我们都可以找到一种有效的算法求其所有解.Hasse对二次型的工作主要在代数方面：他提出的局部-整体原则，给出了如何判别解的存在性问题.Siegel的工作主要在解析方面，他给出了二次型表示表法个数的一个解析公式，并且建立了自守形式与二次型表示之间的关系. 在这篇论文中，我们考虑一个特殊形式的二次型表示，二元二次正定型Q(X，Y)=X2+NY2，其中Ⅳ是一个无平方因子的有理整数.记rN(n)为Q(X，Y)=n的整数解的个数(计符号与顺序).我们给出下式的一个估计。 ∑x