【摘 要】
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矩阵分解在信号处理,系统科学,自动控制,神经网络,统计学和工程等领域有着广泛的实际应用和丰富的理论研究价值,推广矩阵分解的应用成为当代应用数学领域的热点,并且得到越来
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矩阵分解在信号处理,系统科学,自动控制,神经网络,统计学和工程等领域有着广泛的实际应用和丰富的理论研究价值,推广矩阵分解的应用成为当代应用数学领域的热点,并且得到越来越多的学者的关注.本论文在阅读了大量文献的基础上,推广了矩阵分解在几个领域的应用,具体内容包括以下几个部分:第一章,介绍了矩阵奇异值分解,矩阵谱分解和矩阵QR分解的研究现状与性质定理,以及本论文的基本结构框架.第二章,研究了将矩阵奇异值分解理论推广到广义行(列)酉对称矩阵的Moore-penrose逆,得出结论:母矩阵A的奇异值分解式经过线性变换后可得到广义行(列)酉对称矩阵的奇异值分解式,并且利用Moore-penrose逆性质,得出广义行(列)酉对称矩阵的Moore-penrose逆表达式.第三章,研究了将矩阵谱分解理论推广到广义行(列)酉对称矩阵的Moore-penrose逆,根据AHA的谱分解式,得到母矩阵的Moore-penrose逆表达式,进一步得出结论:母矩阵的Moore-penrose逆表达式经过线性变换后得到广义行(列)酉对称矩阵的Moore-penrose逆表达式.第四章,研究了将矩阵的奇异值分解理论应用到线性回归模型的参数估计,对系数矩阵进行奇异值分解后估计模型的参数,分析了待估参数的性质及其表达式,避免了直接对高维系数矩阵求逆运算带来的繁琐的计算量,降低了运算过程中出现的误差.第五章,研究了将矩阵的QR分解理论应用到灰色系统模型的参数估计,对系数矩阵进行QR分解后估计GM(1,1)和GM(1,N)模型的参数,分析了待估参数的性质及其表达式,避免了直接使用最小二乘法估计模型参数所带来的病态性,提高参数估计精度.
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