论文部分内容阅读
等距嵌入问题是微分几何研究的一个基础问题。自从1868年黎曼提出了黎曼流行,自然而然的就产生了一个问题:一个黎曼流形是否为某个欧氏空间的具有给定诱导度量的子流形。换句话说,就是黎曼流形的存在性问题。除了等距嵌入的存在性问题外,等距嵌入的唯一性,也是整体刚性研究的另外一个重要问题。两者间的关系与偏微分方程解的存在性和唯一性类似。整体刚性的线性化问题就是无穷小刚性。这对在求解等距嵌入问题的过程中所遇到的线性化问题起着至关重要的作用。本文研究空间形式里超曲面的无穷小刚性。首先,研究三维欧式空间里超曲面的无穷小刚性,强调ρ=1/2(?)及其线性化方程φ=(?)所满足的Darboux方程,其中(?)是一阶等距变形,并用能量方法和最大值原理给出新的证明。在这个证明中,ρ和φ包含了所给度量的所有信息。同时,在三维欧式空间里,观察到给定曲率的等距嵌入问题的刚性与无穷小刚性的相似性,所以借用Guan-Wang-Zhang[1]证明给定曲率问题的刚性的思想,把无穷小刚性转化为椭圆偏微分方程解的唯一性,并用最大值原理得到解的唯一性。在这篇论文中,把这种方法应用到证明非闭的Alexandrov正环面的无穷小刚性中。另外,还证明了上述Darboux方程与等距嵌入方程,Gauss-Codazzi方程三者的等价性。其次,证明三维双曲空间和球空间里超曲面的无穷小刚性。在已经证明了的三维欧式空间里超曲面的无穷小刚性的基础上,用Beltrami映射把欧式空间里超曲面的无穷小刚性扩展到空间形式。从而证明了三维空间形式里超曲面的无穷小刚性。最后,证明高维空间形式里超曲面的无穷小刚性。指出前面的讨论也适用于高维空间形式里超曲面的无穷小刚性。这一结论最早是由Dajczer-Rodriguez[2]证明的。从高斯方程中可以得到足够多的代数关系,且曲面的凸性可以弱化成第二基本型矩阵的秩等于或大于2,所以这一结论可以推广到高维空间形式。在本文中,证明了高维欧式空间里超曲面的无穷小刚性。