假设G为有限简单图.V（G）和E（G）分别表示G的顶点集和边集,简记为V和E.令G₁,...,G_m表示m个图类.如果V（G）可以被分解为m个集合V₁,...,V_m,使得对于1≤l≤m,子图G[V_l]属于图类G_l,那么我们称其为图G的一个（G₁,...,G_m）-分解.为简单起见,我们用F,I,?_k和F_k分别表示图类森林,独立集,最大度为k的图和最大度为k的森林.图G的最大平均度定义如下:mad（G）=max{（2|E（H）|）/（|V（H）|）:H?G}.用g（G）表示G的围长,即G中的最小圈的长度.若G为连通平面图,则有mad（G）<（2g（G））/（g（G）-2）.2013年,对于任意的d₁和d₂,Montassier和Ochem构造了一个围长为g≥4且不存在(?_d1,?_d2)-分解的平面图.因此对于平面图的(?_d1,?_d2)-分解问题,人们主要考虑围长至少为5的平面图.之后,对于此类问题,Havet和Sereni证明了围长g≥5的平面图存在（?₄,?₄）-分解,Choi和Raspaud证明了围长g≥5的平面图存在（?₃,?₅）-分解.最后Borodin和Kostochka证明了围长g≥5的平面图存在（?₂,?₆）-分解.对于围长g≥6的平面图的(?_d1,?_d2)-分解问题,2014年,Borodin和Kostochka证明了若图G满足mad（G）≤（14）/5,则G存在（?₁,?₄）-分解.由此可得围长g≥6的平面图存在（?₁,?₄）-分解.另一方面,Borodin等人证明了对于任意的d,存在围长为6且不存在（I,?_d）-分解的平面图.因此对于围长g≥7的平面图,研究它是否存在（I,?_k）-分解（或（I,F_k）-分解）是非常有意义的.另一方面,在2014年,Borodin和Kostochka证明了若图G满足mad（G）≤8/3,则G存在（I,?₂）-分解;若G满足mad（G）≤（16）/5,则G存在（I,?₄）-分解.作为推论,我们有围长g≥7的平面图存在（I,?₄）-分解及围长g≥8的平面图存在（I,?₂）-分解.事实上,Montassier和Ochem证明了围长g≥7的平面图是否存在（I,?₂）-分解是NP-完全问题.最近,Dross,Montassier和Pinlou考虑了上述图类的（I,F_k）-分解问题.他们证明了每一个围长g≥7的平面图都存在（I,F₅）-分解;每一个围长g≥8的平面图都存在（I,F₃）-分解.基于以上图分解问题的研究,本学位论文研究了围长限制条件下平面图的（F_i,F_j）-分解问题.论文框架结构及内容如下:在第一章中,我们先给出本文将用到的基本概念,再简述相关领域的研究现状和本文的研究结果.在第二章,第三章和第四章中,我们均使用反证法,通过构造极小反例,运用势函数以及权转移方法,分别证明了以下三个结果:（1）围长g≥5的平面图存在(F_d1,F_d2)-分解,其中{d₁,d₂}∈{{4,4},{3,5},{2,6}}.（2）围长g≥6的平面图存在（F₁,F₄）-分解.（3）对于k≥2,若图G满足mad（G）≤2+k/（k+1）,则G存在（I,F_k）-分解.需要指出,结论（1）中的三个结果分别改进了文献[10,24,31]中的三个已知结果.结论（2）和结论（3）改进了发表在Journal of Combinatorial Theory,Series B上的两个结果.另外,由于存在围长为6且不具有（I,?_d）-分解的平面图例子,结论（2）中的F₁是最优的.