算子不等式是算子理论中的一个重要分支。1934年，L(?)wner提出了著名的以后称之为不等式的算子不等式，它是包括Furuta不等式在内的算子不等式的理论基础。1987年日本的数学家Furuta提出了著名的Furuta不等式，它在算子不等式、算子方程和数学物理方程中都有广泛应用，当前Furuta不等式是算子不等式理论研究的一个热点课题。　　 本文的主要内容包括：应用Mathematica对Furuta不等式残余问题做了探究，为解决Furuta不等式的残余问题提供了可以借鉴的方向；根据实际需要给出了几组算子单调函数，并综合应用算子单调性理论和算子平均理论对Furuta不等式和Grand Furuta不等式的相关问题做出了推广。　　 第一章，首先介绍了Furuta不等式的发展背景、现状及Furuta不等式的残余问题；然后针对Furuta不等式的残余问题，利用有限维空间里的二三阶矩阵进行演算，并且利用Mathematica对“残余问题”进行探讨，得出了“残余问题”的答案可能是正面的结论；第三部分通过块矩阵形式的算子给出了Young不等式的一种新的证法。　　 第二章主要讨论算子单调函数。结合实际需要及算子单调函数的定义和特征研究了一些初等函数的算子单调性，并将这一算子单调函数做了线性推广；最后讨论了复杂序下算子函数的一些相关推论。　　 第三章研究在推广了的算子序关系下的α-幂平均函数。首先介绍了Furuta不等式的几何结构，将普通的算子序推广到更弱的算子序A4≥(A2B2A2)(3/2)，讨论在此序下的函数的算子单调性，并且推广到更一般的序A2m≥(AmB2Am)(m+1/m)，得到了一些新的研究方法与结果。　　 第四章讨论了Grand Furuta不等式的一些相关结论。　　 第五章对本文做了总结并对Furuta不等式的研究前景做了展望。