在这篇论文中，我们主要研究了扩张仿射李代数的双代数结构，量子化和W(a，b)代数的表示理论．　　 1983年，V.Drinfel’d在研究量子群的过程中提出了双代数的概念．李代数和双代数的量子化是产生新的量子群的重要途径．为了研究与扩张仿射李代数相关的量子群，非常有必要先了解扩张仿射李代数的量子化和双代数结构.因此，研究扩张仿射李代数的双代数结构和量子化是十分重要的问题.但是，目前关于这个方面我们知道的还比较少．　　 在第二章节，我们考虑了扩张仿射李代数sl2～(Cq[X，y])和sl2～(Cq[X±1，y±1])的双代数结构.相比于其他的无限维分次李代数，扩张仿射李代数的内导子（从它自身到它张量空间）更不容易被发现．因此我们必须要采用一些新的方法才能找到这些内导子.最终我们证明出sl2～(Cq[x，y])和sl2～(Cq[x±1，y±1])的双代数结构都是三角上边缘的．　　 在第三章节，我们从三种角度分别对扩张仿射李代数sl2～(Cq[x±1，y±1])进行量子化，由此产生了三种非交换和非余交换的Hopf代数结构．通过李代数sl2～（cq[x±1，y±1]）的一个自同构映射，我们又得到了另外三种非交换和非余交换的Hopf数结构.此外，我们发现其中有两种量子化可以限制到扩张仿射李代数sl2（Cq[x,y]）上．　　 Virasoro代数在数学和物理中都具有非常突出的重要性，很多数学和物理的学者都对它的表示理论进行了深入的研究．在这篇论文中我们研究了一类李代数W(a，b),这个代数与Virasoro代数和它的模关系十分密切．w(a，b)包含了很多有意义的代数，例如Heisenberg-Virasoro代数，W(2，2)代数等等，因此考虑w（a，b）的表示是十分自然且很有意义的事情．我们还注意到一些非常有意义的无限维分次李（超）代数的子代数是W（a，6）代数的一些特殊情况，例如：W1+∞代数，一些Block型李代数，N=2超-Virasoro代数，Schr(o)dinger-Virasoro代数等等．这部分工作的动机之一是：正如Virasoro代数的表示理论被广泛应用到含有Virasoro代数作为子代数的李（超）代数中一样，我们也期望W(a，b)代数的表示理论可以应用到含有W(a，b)代数为子代数的李代数表示论中．　　 在第四章节，W(a，b)的不可分解的中间系列模被完全分类了.同时我们还证明出不可约的Harish-ChandraW(a，b)模是最高最低权模或者是一致有界模．此外，如果a(∈)Q，W(a，b)的不可约权模就是Vir模且Wk的作用是平凡的.我们需要指出的是，因为代数W(a，b)中的参数a不一定是整数，则W(a，b)的中间系列模有着非常复杂的结构，这与Virasoro代数有比较大的区别．　　 李共形代数在很多方面都非常类似于李代数．一方面李共形代数是研究满足局部性质的无限维李代数的有效工具．另一个方面，李共形代数与顶点算子代数的关系也很密切.值得注意的是Virasoro代数是一个非常重要的李共形代数的例子．作为W(a，b)的特殊情况，W(2，2)代数是在研究由权为2的向量生成的顶点算子代数的过程中被提出的，因此，W(a，b)共形代数的结构和性质也是十分有意义的.　　 在第5章节，首先介绍了分布形式李代数和李共形代数的相关概念，然后我们构造了W(a，b)的共形代数并考虑了它的共形导子．我们还计算出了W(a，b)共形代数秩为1的共形模结构。