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众所周知混沌是拓扑动力系统的研究热点之一,而Devaney混沌,Li-Yorke混沌则是最为流行的混沌的定义。自1977年Furstenberg给出了 Szemeredi定理的动力系统证明之后,用遍历论的方法研究组合问题也成为遍历论的研究重点之一。在本文中,我们主要研究了群或半群作用下的拓扑动力系统中的Devaney混沌和Li-Yorke混沌,另外用遍历论的方法证明了一些Szemeredi 型定理。全文一共分为四章。在第一章中,我们主要给出了本文的主要结果和预备工作。在第二章中,我们介绍了群或半群作用下的拓扑动力系统中的Devaney混沌,Li-Yorke混沌的概念,引进了多重混沌和多重Li-Yorke混沌的概念,得到了一些Devaney混沌蕴含Li-Yorke混沌的结果。特别地,设R+(?)π X是Polish空间上的C0-半流,我们证明了:●如果R+(?)π X是拓扑传递的,至少有一个周期点p,并且有一个内点为空的稠密轨道,那么它是多重Li-Yorke混沌的;即存在一个不可数集(?)(?)X使得对任何k≥ 2和任何不同的点x1,...xk∈(?),我们可以找到时间序列sn→∞,tn→∞满足sn(x1,...,xk)→(x1,...,xk)∈Xk 及 tn(x1,…,xk)→(p,...,p)∈Δxk.因此,Devaney混沌(?)多重Li-Yorke混沌.另外,我们构造了一个紧致度量空间R∪ {∞}上的完全Li-Yorke混沌的极小SL(2,R)-作用流的例子。我们的各种混沌动力系统对相群或相半群T上拓扑的选择是敏感的。在第三章中,我们主要研究了弱混合半流或流的混沌行为,设X是一个非单点的Polish空间,我们证明了:●任何弱混合的C0-半流R+(?)π X是稠密多重Li-Yorke混沌的.●任何弱混合的具有交换相群的极小拓扑流T(?)π X是稠密多重Li-Yorke混沌的.●任何弱混合的拓扑流T(?)π X是稠密Li-Yorke混沌的.在第四章中,我们运用Furstenberg的遍历论技术,证明了局部紧交换群的具有正上密度的可测子集包含Szemeredi式的构型,其中这些构型定义在群的任意紧子集上。我们主要证明了:●设(G,+)是一个局部紧Hausdorff交换拓扑群并且F是G的一个紧子集.如果可测集E(?)G关于(G,+,|·|)中的一个F-F(?)lner序列F=(Fn)n=1∞具有正上密度,那么对任何g1,…,gl∈<F>,BD*({d ∈ Z | DF*({u ∈ E:u + d{g1,...ty}(?)E})>0})>0.这里BD*表示(Z,+,|.|z)中的集合的下Banach密度,<F>表示群G的由F生成的子群.利用上面的定理我们可以得到如下推论:●设(G,+)是第二可数的局部紧Hausdorff交换拓扑群.如果可测集E(?)G具有正上Banach密度,i.e.,BD*(E)>0,则对任何g1,...,gt∈G,BD*({d∈Z| BD*({u∈E:u + d{g1,...ty}(?)E})>0})>0.这个推论同时推广了经典的G = Z情形的Szemeredi定理[50],由Furstenberg,Katznelson证明的G = Zm情形的Szemeredi定理[25],以及由Furstenberg证明的欧氏距离拓扑下G = Rm的情形的Szemeredi定理[23,Theorem 7.17].