等几何分析是近年来备受关注的一种新型数值分析方法。随着问题规模越来越大、几何模型越来越复杂,繁琐的网格划分成为制约有限元发展的瓶颈。等几何分析采用CAD中精确描述几何形状的样条函数进行力学分析,设计模型和分析模型采用同一种几何表示,解决CAD和CAE的模型异构问题。论文选择本质边界条件处理作为切入点,以固体介质传热、线弹性结构,不可压缩流动和曲面上的偏微分方程为应用对象,研究等几何分析在应用中遇到的问题。由于样条函数缺乏插值性,等几何分析很难直接处理本质边界条件。如果像有限元一样施加在单元结点上,会造成计算精度降低和收敛退化。针对这一问题,论文提出两类本质边界条件处理方法。并在曲面偏微分方程几何精确有限元求解的基础上,提出参数曲面水平集方程及其数值计算。论文的主要研究内容包括:(1)提出基于样条拟合的“强处理”方法“强处理”法是在有限元空间施加边界约束的一类方法。基于样条拟合的思想,论文提出三种“强处理”方法,包括:边界配点法、最小二乘扩展以及构造等效插值基函数的转换矩阵法。边界配点法是在边界上引入一组精心设计的插值点,将本质边界条件处理转化为样条拟合问题。最小二乘扩展是在配点法的基础上,构造边界条件误差残余的最小二乘泛函,在求解精度、数值稳定性和适用性上都要优于配点法。论文第三章以固体介质传热为例,与有限元的“直接施加法”对比,提出的方法在精度和收敛性上都有显著提升。论文第五章从NURBS曲面提取对应的有理Bézier单元,基于等几何分析求解定义在参数曲面的Laplace-Beltrami方程。针对Bernstein多项式缺乏插值性的问题,提出一种等效插值多项式的矩阵转化算法。转换后的多项式满足插值属性,避免了本质边界条件处理的困难。由于有理Bézier单元可以精确描述球面、柱面等二次曲面表示的工业产品外形,在求解曲面偏微分方程时比有限元的精度更高。(2)提出基于Nitsche变分法的“弱处理”方法“弱处理”法是对等效积分形式进行修正的一类方法。第三章将Nitsche法应用到线弹性问题的位移边界条件处理,通过拉格朗日乘子识别,构造对应的无约束泛函。并针对线弹性问题,证明了Nitsche变分法的条件稳定性,给出稳定系数的计算公式。与同类方法相比,Nitsche法具有自由度少、数值稳定、惩罚项容易控制的优势,第四章将其推广到两类重要的流体力学问题。对于速度场-压强形式的二维Stokes流动,采用混合有限元求解需要构造满足inf-sup稳定条件的单元格式。针对这一问题,引入流函数将其转化四阶偏微分方程,采用高阶连续的NURBS基函数求解。最后混合采用Nitsche法和最小二乘扩展法对该问题的两组本质边界条件进行处理。对于不可压缩Navier-Stokes方程,论文推导出包含切向和法向全部速度Dirichlet边界条件的新型等效积分公式。新公式更为一般化,可以“弱形式”处理无穿透壁面条件。对于生成的非线性方程组,给出切线刚度矩阵,采用Newton-Raphson法求解。(3)研究参数曲面水平集方程及其数值计算在传统欧氏空间水平集的基础上,论文提出参数曲面上的水平集方程,可应用于曲面上的动态界面追踪问题。研究了参数曲面水平集方程的几何性质,推导出约束在参数曲面上、隐式表示的空间曲线的切面法矢和曲率计算公式。最后采用样条配点法数值求解参数曲面水平集方程。