非线性泛函分析是当今数学领域中一个具有广泛应用价值的重要研究方向:该方向的创立旨在将现实领域中出现的各种现象抽象成非线性数学问题,进而创立了一系列处理非线性问题的理论和方法.非线性泛函分析的主要内容和方法包括解析方法、半序方法、拓扑度理论、临界点理论和单调映射理论等.这些重要方法和理论可广泛的应用于非线性积分方程、常微分方程、偏微分方程和其他各种类型方程及其边值问题的研究.分数阶微分方程边值问题是微分方程的一个重要分支.随着分数阶微积分理论的日臻成熟,该理论及其应用受到了人们广泛的关注.事实上,分数阶边值问题可广泛应用于流体力学,粘弹性力学,生物系统的电传导,对分数回归模型的刻画等领域.正是由于分数阶微分方程模型的这种实用性和精确性,越来越多的专家学者对分数阶微分方程解的性质做出了相对系统且深入的研究.然而在已知的研究中有很多结果和证明方法都与经典微积分方程一样,这些工作基本上可以说只是经典微积分理论的一个延拓.因而对分数阶微分方程的进一步研究就显得颇为迫切.基于这些原因,我们认为对分数阶边值问题解的研究是有意义的,我们希望在过去研究的基础之上,对分数阶边值问题进行进一步地探讨和研究.本文充分利用拓扑度理论、正全连续线性算子谱半径与正特征值理论、混合单调算子的不动点定理、Schauder不动点定理、Banach压缩映射原理、增算子的单调迭代方法、半序拓扑方法等方法,研究了几类非线性高阶（奇异）分数阶微分方程解的存在性、唯一性、无解性、上下限估计以及对参数的依赖性等重要性质,得到了一些新颖且有意义的结果.此外,我们注意到在Holder空间中关于锥方面的理论知识还很少,这有待于进一步地研究.因此,我们致力于在该空间中构造一个新的具有正规性、正则性等良好性质的锥.并在此基础上,研究分数阶微分方程问题.本文共分八章.第一章主要介绍了非线性泛函分析和分数阶微积分的一些理论知识背景、基本定义和性质,并列出了本文所用到的算子不动点引理等.第二章中,我们对一类带有p-Laplacian算子的奇异分数阶微分方程正解的唯一性、收敛性以及正解对参数的连续依赖性和单调性进行了数值分析,并通过作图和表格将数据结果显示出来.第三章通过使用分数阶导数的降阶法、不动点指数定理及Banach压缩映射原理,我们讨论了一类带有混合型边界条件且非线性项中带有分数阶导数的非线性分数阶微分方程正解的存在性和唯一性等性质.第四章研究了一类非线性高阶奇异分数阶边值问题,该问题的边界条件是由Riemann-Stieltjes积分边界条件的有限和形式以及非局部无穷点离散边界条件形式构成,并且边界条件和非线性项中均含有不同阶的分数导数.通过使用混合单调算子不动点理论,我们得到了迭代正解的唯一性以及对参数的连续依赖性.第五章中,我们介绍了一类具有物理背景的微分方程.该方程旨在描述湍流在介质中的运动现象.在此基础上.我们研究了一类带有p-Laplacian算子且包含两种类型分数导数的非线性奇异边值问题.通过使用混合单调算子不动点理论,我们得到了迭代正解的唯一性以及对参数的连续依赖性.最后,我们给出了两个数值实例,并以图像和表格两种形式对数据结果进行了分析和说明,从而验证了定理的有效性.第六章中,我们考虑了一类高阶分数阶边值问题.首先在非线性项满足Caratheodory条件的前提下,通过使用Schauder不动点定理得到了解的存在性;其次根据Banach压缩映射原理证明了解存在的唯一性;最后通过对谱半径理论的运用得到了正解的唯一性及不存在性.第七章中,我们研究了一类带有p-Laplacian算子且包含两种分数阶导数的边值问题.通过使用Schauder不动点定理,我们得到了解的存在性.通过利用Banach压缩映射原理,我们证明了唯一解的上下限进行了数值估计.第八章中,我们在Holder空间中构造了一类新的锥,对其正规性、正则性等性质进行了研究.在此基础上,我们讨论了其在微分方程问题中的应用.