非线性算子理论是非线性泛函分析的重要组成部分之一，这一理论不仅为非线性微分方程和积分方程的研究提供了有力的工具，而且将其纳入到统一的框架之中.从而在数学及应用科学诸如物理、工程、生物化学等领域都有着广泛的应用。非线性算子方程的解的个数和类型问题一直为人们所关注。本文首先研究了一类带次线性扰动的混合单调算子的不动点定理，然后证明了两类非线性算子的多重不动点的存在性。其次，讨论了渐近线性算子方程的变号解与多重解。　　 第一章介绍了本论文将用到的预备知识.第一节，给出了半序和锥的基本概念，第二节介绍了有关时间尺度计算的基本结果，第三节主要介绍了拓扑度和不动点指数的一些定义和相关引理。　　 第二章，采用半序方法和单调迭代技巧研究以下算子方程的解的存在唯一性：A(x，x)+Bx=x，x∈E，其中A是混合单调算子，B为次线性算子，并且E是实的半序Banach空间.算子A具有以下凹凸型条件：其中T：(a，b)→(0，1)是一个满射，()(t，x，y)>T(t)，()t∈(a，b)，x，y∈P，且P是E中的正规锥.应该指出，我们不要求算子A具有耦合上下解条件与紧性以及连续性条件.作为应用，讨论了一类积分方程的正解的存在唯一性，进而考察了一类时间尺度上的二阶边值问题，不仪获得了其正解的存在唯一性，而且也建立了逼近解的迭代格式。其次，借助于一个已知的拓扑度为1的结论，利用可微映射与渐近线性算子的指数计算定理，获得了非线性算子方程至少存在两个正解与两个负解以及两个变号解的抽象结果。然后，研究了格结构下单边渐近线性算子的变号解和多重解。最后，将所获得的结论应用千非线性Hammerstein型积分方程与一类偏微分方程的边值问题.同时，也考察了一类离散边值问题的多重变号解。本章的工作不仅对相关的具体微分方程的条件进行了抽象，获得了一般性的结果，而且也对其进行了较大的改进，使其具有了更广泛的意义。