间断Galerkin有限元方法是一类使用允许完全间断多项式空间作为有限元空间的高分辨率数值方法。因其具有可以达到任意阶精度、容易实现h-p自适应和能够处理复杂计算区域等优点,在工程计算方面有着广泛的应用,所以对间断Galerkin有限元方法的理论研究具有十分重要的意义。本文研究的三种发展型偏微分方程分别是变系数的线性双曲守恒律方程、非线性对流扩散方程和线性五阶偏微分方程。主要讨论了这三种方程的间断Galerkin有限元解的误差估计和超收敛性。针对变系数的线性双曲守恒律方程,通过有限元分析的方法和构造特殊的投影给出了使用迎风型数值通量的间断Galerkin有限元方法的误差估计。本章最后的数值试验部分不仅验证了收敛阶是最优的,还观察到相比于方程真解,数值解更加接近真解特殊投影这一超收敛性质。为进一步研究方程系数变号时的超收敛性指明了方向。而对于非线性对流扩散方程,证明了对流项导数保号时,间断Galerkin有限元解以高于误差收敛阶半阶的速度超收敛于方程真解的Gauss-Radau投影。几个算例也印证了理论的正确性,最后通过构造误差指示器展示了超收敛性的应用。最后讨论了线性五阶方程局部间断Galerkin有限元格式的误差估计和超收敛性。本章采用了新思路选取试验函数,得到了时间上线性增长的误差和超收敛形式,说明局部间断Galerkin有限元的数值解和真解的误差在很长的时间内都不会显著增长,体现了局部间断Galerkin有限元方法求长时间数值解时的优越性。不过,通过数值试验发现,本章的超收敛阶不是最优的。