自从Kass，Witkin和Terzopoulos等人在20世纪80年代末提出了活动轮廓模型的开创性工作之后，人们对边界检测的“蛇”模型或称活动轮廓模型进行了广泛的研究。Caselles等人和Kichenassamy等人将水平集方法用于活动轮廓描述和模型求解，导致了测地活动轮廓模型的诞生，这不仅使曲线在演化时能进行拓扑变化，而且大大拓宽了活动轮廓模型的应用范围，更为重要的是这一突破打通了边界检测技术与黎曼几何、积分几何和微分拓扑等许多现代数学分支的深刻的内在联系，使得将微分方程、微分几何和拓扑学的许多强有力的工具应用于边界检测方面成为可能。　　 活动轮廓模型不仅在图象分割领域获得了广泛的应用，在机器视觉、运动跟踪、三维重构和图象配准、工业检测、手术导航等方面的应用也获得了迅速地发展。　　 近十年来，这一方法引起了国外学者的广泛关注，对其进行了大量研究，并提出了各种不同的模型。相比之下，国内在这方面的研究还比较薄弱。　　 本文关注的是活动轮廓边界检测技术的核心问题：收敛性、唯一性和正确性，以及各种有效的求解泛函能量极小值的方法。　　 本课题的主要创新点体现在以下几个方面：　　 （1）提出了计算活动轮廓能量泛函的二阶变分的方法　　 根据活动轮廓能量泛函的极小化来确定活动轮廓的解是一种自然的框架，它的优越之处自不待言。但通常使用的方法是求Euler-Lagrange方程的解，这并不能保证求得的解就是活动轮廓能量泛函的极小值，因为它只是一个必要条件，而非充分条件。计算活动轮廓的二阶变分就是为了确定活动轮廓取得极值的充分条件，所以解决了活动轮廓边界检测技术面临的几个核心问题的一部分。　　 此外，解决如何计算活动轮廓能量泛函的二阶变分本身也有普遍的理论价值。　　 （2）提出了“变分问题的数码Morse理论”的初步理论框架　　 传统的Morse理论由两个紧密相关的方面构成：即光滑函数的Morse理论与变分问题的Morse理论。有关光滑函数的数码Morse理论已被成功地运用于医学体数据的组织和分析。但有关变分问题的数码Morse理论则尚未有人触及，本文提出了“变分问题的数码Morse理论”的一个初步的理论框架。我们认为，变分问题的数码Morse理论可用于图象分析领域。　　 （3）建立了活动轮廓能量泛函的连续性凸分析方法　　 活动轮廓模型的一个主要的不利因素是：它们的凸性没有很好地被理解。它的解通常是局部而非全局极小的，甚至不是真正极小的。但当活动轮廓能量泛函凸时，可以保证对应的Euler-Lagrange方程的解是个真正的极小值点！　　 以前关于能量泛函的凸分析，采用的都是先将能量泛函离散化，然后对离散函数进行分析的方法，本文使用变分问题的数码Morse理论得到了确保能量泛函凸的连续性判定条件。　　 （4）修正了Sobolev活动轮廓模型的计算公式　　 关于Soloblev梯度的计算方法，在Sundaramoortlu等的几篇创始文献中的表示方法在数学上不够严谨[156]。本文作了一个全新的推导。得出了修正了Sobolev活动轮廓模型的计算公式。　　 （5）提出了利用水平集技术求解Sobolev活动轮廓模型的方法　　 Sobolev活动轮廓模型的定义和离散化处理采用了参数化形式，表达形式十分复杂，且无法使用水平集技术在处理活动轮廓方面十分丰富的现有成果。我们将这种表示方式提升了一维，采用Sobolev空间H1,2（R2）上的泛函的Sobolev梯度概念来表示Sobolev梯度流，使得水平集理论的现有成果得到了充分利用，降低了Sobolev梯度流的计算复杂度，且使对Sobolev梯度流的编程实现变得简便易行。实验显示，经过少量的迭代，可以得到理想的收敛效果。