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本文首先考虑二阶Hamiltonian系统ü+▽V(t，u)=0， (HS<,1>)其中V∈C<1>(R×R，R)，▽V(t，x)=( V/ x)(t，x)．本文中V(t，x)=-K(t，x)+W(t，x)，而K(t，x)关于x不一定具有齐次性，我们的具体做法是利用没有(PS)条件的山路引理．
主要结果如下：
定理1 假设 (V1)V(t，x)=-K(t，x)+W(t，x)； (V2)K∈C<1>(R×R，R)并且存在一个正常数λ满足λ/2(L(t)x，x)≥K(t，x)≥1/2(L(t)x，x)，关于一切t∈R和x∈R一致成立，其中L(t)是一个关于所有t∈R正定对称的函数矩阵； (V3)当｜t｜→∞时K(t，x)/｜x｜<2>→+∞关于x∈R/{0}一致成立； (V4)存在一个常数c<,0>>0使得 0≤2K(t，x)-(▽K(t，x)，x)≤c<,0>｜x｜<2>，对所有t∈R，x∈R成立； (W1)W∈C<1>(R×R，R)且存在一个常数μ>2使得 0<μW(t，x)≤(▽W(t，x)，x)，对t∈R和x∈R{0}成立； (W2)当｜x｜→0时▽W(t，x)=o(｜x｜)关于t∈R一致成立； (W3)存在W<*>∈C(R，R)满足｜W(t，x)｜+｜▽W(t，x)｜≤｜W<*>(x)｜，对所有t∈R，x∈R成立，那么系统(HS<,1>)至少有一个非平凡的同宿轨．
接下来本文讨论了二阶Hamiltonian系统 -ü+L(t)u=▽W(t，u)+g(t)， (HS<,2>)同宿轨的多解性结果，其中L(t)是一个对称的实值函数矩阵，W∈C<1>(R×R，R)关于第二个变量是偶的，并且g(t)≠0．当g(t)三0，可以利用对称山路引理得到多解，本文在g(t)≠0从而失去对称性的条件下，利用扰动方法同样得到了多解．假设 (G)g∈L<2>(R，R)∩L<μ′>(R，R)(μ′=μ/μ-1)，并且对足够大的n我们有λ,<,n>>n，其中λ<,n>是-d<2>/dt<2>+L(t)在L<2>(R，R)中第n个特征值(具体含义见证明中)，那么(HS<,2>)有一列无界同宿轨．
最后，本文讨论了二阶方程ü-α(t)u+β(t)u<2>γ(t)u<3>=0， (HS<,3>)其中α，β，γ∈C<1>(R)．本文在β≠0和系数函数没有奇偶性的条件下得到了(HS<,3>)的正同宿轨的存在性．
主要结果如下：
定理3 假设 (H1)存在正常数a′，b′，c′，B和C使得 0
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