论文部分内容阅读
1986年，Johnsen，Qutcalt和Yaqup在文献[1]中证明:设R是一个环，若对于任意x，y∈R，总有(xy)2=xy2x，则R是交换环.受此定理的启发，我们给出了GWCN环的定义，这是一类介于CN环与nil-semicommutative环之间的环类.本文通过对GWCN环的研究，一方面讨论了GWCN环的性质，指出其与约化环，NI环，SF环和Abel环的联系，另一方面通过GWCN环给出了左min-abel环及强正则环的新刻画，同时也探讨GWCN的exchange环的一些有意义的性质. 全文共分五章.第一章主要说明了GWCN环的研究背景及本论文需要的一些预备知识. 第二章主要给出了GWCN环的一些例子，指出GWCN环、CN环、约化环、Abel环之间的关系，列举并证明了GWCN环的一些基本性质.主要证明了下面结论: (1)R为约化环当且仅当T2(R)为GWCN环当且仅当Z3(R)是GWCN环. (2)设I是R的约化理想，且R/I是GWCN环，则R是GWCN环. (3)设R为GWCN环，摸J(R)可幂等提升，则R/J(R)是Abel环. 第三章主要研究了GWCN环的强正则性问题.众所周知，约化的von Neumann正则环是强正则环.本章证明了von Neumann正则的GWCN环是强正则环.关于SF环成为vonNeumann正则环的条件一直是环论研究的热点问题，比较著名的结论如1986年Rege教授在文献[2]中证明:约化的左SF环是强正则环.本章证明:R是强正则环当且仅当V2(R)为GWCN环且R为左SF环.此外，利用GWCN环给出了约化环的一些刻画，证明了:R是约化环当且仅当R是左NSF环且R[x]/(x2)是GWCN环当且仅当R是左NSF环且R∝R是GWCN环. 第四章通过对GWCN环的研究给出了左min-abel环的一些新刻画，主要证明了下面结论:R为左min-abel环当且仅当对任意k∈M1(R）∩N(R)，x∈R，有k2x2=kx2k.同时也证明了:若R为左MC2的GWCN环，若每个奇异单左R-模是YJ-内射模，则R是约化的弱正则环。从而推广了Kim，Nam，Kim[3]的结论:若R为ZI环且每个奇异单左R-模是YJ-内射模，则R为约化的弱正则环. 第五章对exchange环进行了一些研究，得到了如下结果:(1)设R为GWCN的exchange环，P是R的素理想，则R/P是局部环;(2)设R为GWCN环，则R为π-正则环当且仅当R为NI环且R/N(R)是正则环.众所周知，clean环是exchange环，但exchange环未必是clean环.1977年，Nicholson在文献[4]指出Abel的exchange环是clean环.1995年，宇化平在文献[5]中指出左quasi-duo的exchange环是clean环.本章证明了GWCN的exchange环是左quasi-duo环，也是clean环.