【摘 要】
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锥约束优化问题是指约束映射属于某个闭凸锥时的优化问题.这类问题在金融、统计、机器学习及工程等领域有着广泛应用.往往在求解实际问题时很难得到精确解,因此研究锥约束优化问题的稳定性分析理论是有必要的,其在数值计算方法的收敛性分析中起着至关重要的作用.本论文主要研究非线性半定规划问题、二阶锥约束优化问题和C2-锥简约问题这三类锥约束优化问题的稳定性分析.本论文所阐述的主要研究结果可概括如下:1.第三章研
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锥约束优化问题是指约束映射属于某个闭凸锥时的优化问题.这类问题在金融、统计、机器学习及工程等领域有着广泛应用.往往在求解实际问题时很难得到精确解,因此研究锥约束优化问题的稳定性分析理论是有必要的,其在数值计算方法的收敛性分析中起着至关重要的作用.本论文主要研究非线性半定规划问题、二阶锥约束优化问题和C2-锥简约问题这三类锥约束优化问题的稳定性分析.本论文所阐述的主要研究结果可概括如下:1.第三章研究非线性半定规划（NLSDP）问题的稳定性分析.首先考虑NLSDP问题的比C2-光滑参数化更一般的扰动问题,其不要求参数的可微性.利川隐函数定理证明当NLSDP问题的可行解满足Jacobian唯一性条件时,其扰动问题在某一可行解处也满足Jacobian唯一性条件,并且这一局部最优解关于参数是连续的.其次,利用孤立平稳性的图导数判别准则,证明二阶充分性条件和严格Robinson约束规范是稳定点映射孤立平稳性的充分条件,同时也是Karush-Kuhn-Tucker（KKT）映射孤立平稳性的充分必要条件.再次,利用KKT系统解的强正则性得到KKT映射与法方程系统各自二阶方向可微性的等价性.最后,通过度量正则性的假设条件给出半定规划问题局部最优解集和最优值函数定性及定量的稳定性分析.2.第四章研究二阶锥优化问题的稳定性分析.首先,将第三章NLSDP问题的Jacobian唯一性结论完全推广到非线性二阶锥优化问题上.然后针对标准线性二阶锥优化问题,利用问题凸线性及二阶锥自对偶性的特殊结构证明原始问题的强二阶充分性条件等价于对偶问题的约束非退化条件,进而得到与KKT系统解映射的强正则性等价的三个条件.3.第五章研究C2-锥简约问题的稳定性分析.首先利用C2-锥简约集合的特殊性质证明前两章Jacobian唯一性条件的结论在C2-锥简约问题上也是成立的.此外,对于线性复合优化问题,给出Robinson约束规范、约束非退化条件、严格Robinson约束规范及一阶、二阶最优性条件的刻画,然后给出KKT系统解的强正则性的充分条件和KKT映射孤立平稳性的充要条件.最后,通过假设线性复合优化问题为凸问题,利用对偶理论得到二阶增长条件与参数问题最优解集的平稳性是等价的;同时,还建立了 KKT系统解的强正则性与Aubin性质的等价性.
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