本文主要研究了在度量空间与偏序度量空间中最佳逼近点以及公共最佳逼近点的存在性。　　首先，对于集值映射的最佳逼近点问题，我们采用了一种新的方法证明了最佳逼近点的存在性。一般情况下，最佳逼近点定理往往看作是不动点定理的推广，因而主要结果的证明采用对应不动点问题的相同思路。而本文从新的思路出发，即考虑将最佳逼近点问题作为不动点理论的应用，通过相应的不动点定理直接诱导出最佳逼近点的存在性，也就是说，许多最佳逼近点定理实际上是已知的不动点定理的直接结果，因而证明过程简单明了，而且结果更加深刻。另外，作为结果的应用，本文讨论了以下两方面的问题：一是证明许多耦合最佳逼近点的存在性可由本文的结果直接导出；另外利用所得到的最佳逼近点定理，探讨了限制广义博弈的均衡对的存在性。　　其次,在度量空间中,对于两个集值非自映射,我们介绍了一类新的压缩(它不同于文献中涉及的压缩),并在此条件下,证明了公共最佳逼近点的存在性。　　全文分为五章：　　第一章绪论，首先具体介绍了不动点理论与最佳逼近点理论之间的关系；然后分析了最佳逼近点理论的研究现状，并指出了其研究趋势；最后提出了本文即将要解决的主要问题。　　第二章预备知识，主要介绍了偏序度量空间及相关概念，最佳逼近点的定义以及一些压缩概念，这些都是我们后续工作必要的基础理论。　　第三章，主要讨论了度量空间与偏序度量空间中最佳逼近点的存在性。本章共分为三节，第一节，首先给出了一个不动点定理，这是本节的必要工具，也是一些文献中相关不动点定理的推广和延伸。第二节主要给出了两类不同条件下最佳逼近点的存在性定理，第一类我们利用了第一节中不动点定理证明了相应最佳逼近点的存在性，第二类证明了集值非自映射在广义近似弱压缩的条件下，最佳逼近点的存在性。同时给出了一些例子来说明结果的可用性。第三节，主要展现了第二节的最佳逼近点定理的应用，首先证明了一些文献中的耦合最佳逼近点定理可以由第二节中的最佳逼近点定理直接诱导出；其次，指出了一些循环压缩映射的耦合最佳逼近点定理实际上是循环压缩的逼近点定理的直接结果；最后，利用第二节中的结果探索了限制广义博弈的均衡对的存在性。　　第四章，主要讨论了两个集值映射的公共广义最佳逼近点的存在性。第一节主要讨论了度量空间中，关于两个集值映射压缩对的公共广义最佳逼近点的存在性。第二节主要是在第一节结论的基础上，讨论了集值映射满足广义近似弱映射时，最佳逼近点的存在性。同时我们也列举了不同的例子说明结果的可用性。　　第五章，对全文进行了总结，分析了今后进一步要做的工作和努力的方向。