泊松方程是一类在机械工程和理论物理中有着广泛应用的椭圆型偏微分方程,经常出现在流体动力学、声学、传热学、电磁学、静电学、机械工程等诸多领域。由于它的重要性,在过去几十年里,许多学者对泊松方程进行了广泛的理论和计算研究。本文提出了一种求解泊松方程狄利克雷边值问题的快速边界积分方程方法。为此,我们首先提出了一种计算牛顿势的高精度算法。然后在此基础上,提出了求解由泊松方程导出的边界积分方程的快速傅立叶伽辽金法。接着对快速傅里叶伽辽金法的收敛阶数和计算量进行了分析,并通过数值实验验证了该方法。在第二章,我们建立了计算具有边界奇异性的二重积分的求积公式。首先我们回顾了两种多维积分方法。一种方法是在高斯方法中广泛应用的复化七点Gauss-Legendre（CGL）方法。另一种方法是双指数积分法（DE）中的Tanh-Sinh（TS）求积方法,此方法专门用于求解端点奇异积分。我们推导了在多维有限域下CGL方法的求积公式和误差估计式。然后建立了计算具有边界奇异性的二重积分的求积公式。该公式结合了 CGL方法和TS方法。我们证明了该积分公式的误差为O（n-14）,这与针对光滑函数的CGL方法具有相同的精度。但是所需的计算量由O（n2）降为O（nlog2n）,其中n表示使用CGL方法的子积分区域数。并给出数值算例验证了理论结果。在第三章,我们给出了求解二维泊松方程的快速傅里叶伽辽金（FFG）方法。与现有的FFG方法相比,这里的边界积分方程的右端会涉及牛顿势傅立叶系数的计算,而这是一个带奇异核的区域积分,因此需要大量的计算成本。为了解决这一问题,我们提出了一种计算牛顿势的傅里叶系数的算法。并证明了该方法具有相同的最优收敛阶O（n-t）.同时,由该方法生成线性方程组所用的计算量O（nlog3n）为拟线性,其中n表示所使用的傅里叶基函数的个数,t表示精确解的正则性。最后通过算例验证了该方法的逼近精度和计算效率。