【摘 要】
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本文主要研究内容分为三个方面:（1）非匹配网格上扩散方程的保正有限体积格式;（2）对流扩散方程的保极值原理有限体积格式;（3）非完美接触界面椭圆问题的保正有限体积格式.首先,构造了一个一般非匹配网格上扩散方程的非线性保正有限体积格式,该格式可以处理各向异性扩散张量及间断系数问题.由于法向通量的离散表达式中包含带悬点的节点辅助未知量,我们提出一种新的节点辅助未知量消去方法,即用单元中心未知量来表示节
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本文主要研究内容分为三个方面:（1）非匹配网格上扩散方程的保正有限体积格式;（2）对流扩散方程的保极值原理有限体积格式;（3）非完美接触界面椭圆问题的保正有限体积格式.首先,构造了一个一般非匹配网格上扩散方程的非线性保正有限体积格式,该格式可以处理各向异性扩散张量及间断系数问题.由于法向通量的离散表达式中包含带悬点的节点辅助未知量,我们提出一种新的节点辅助未知量消去方法,即用单元中心未知量来表示节点辅助未知量.特别是对于悬点型的节点辅助未知量,是利用通量连续条件来消去的.我们的格式对于强各向异性扩散张量问题及间断系数问题都是保正的.数值结果表明,不同的节点辅助未知量消去方法对格式精度的影响是显著的,我们提出的节点辅助未知量消去方法可以保证格式具有近似二阶精度,优于许多已有的消去方法.其次,提出了一个新的一般非匹配网格上扩散方程的非线性保正有限体积格式.该格式主要的一个特征是,避免了节点辅助未知量保正的假设,所以称它为完全保正格式.在构造新的两点通量时,我们引入了两个非负参数.其中,在这个新的两点通量表达式中,一个点是单元中心,另一个点是单元边中点.然后,通过通量连续条件得到单元边上的守恒通量.数值结果表明,该格式得到的数值解具有二阶精度,数值通量具有高于一阶的精度.然后,提出了一个一般多边形网格上对流扩散方程的保极值原理有限体积格式,并且证明了该格式的离散解满足离散极值原理.扩散通量的近似是基于自适应选取模板方法,对流通量的近似是基于二阶迎风格式并结合选取适当的斜率限制子技术.我们的格式是局部守恒的,并且只有单元中心未知量.数值计算结果表明,我们的格式满足离散极值原理,并且具有近似二阶的精度.最后,针对具有非完美接触界面的椭圆问题设计了保正迭代格式.对于非完美接触界面问题,由于它的界面连接条件不同于完美接触界面问题,使得一些已有的离散方法所形成的代数系统求解起来很困难.为了避免这个困难,本章我们采用区域分解方法来求解非完美接触界面问题.首先,将模型问题分成两个子问题,构造子区域之间的迭代方法,然后应用一种保正格式来求解这两个子问题,这两个子问题在内边界上给的是Robin边界条件.此外,文中还给出了这种非完美接触界面问题弱解在PDE层面上满足保正性的证明.同时也证明了我们构造的迭代格式在每个迭代步中都是保正的.数值结果验证了我们的格式是保正的,并且具有二阶精度.
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