曲线曲面的逼近和表示是计算机辅助几何设计的两大基本理论问题.其中,曲线曲面的降阶逼近与导矢逼近、圆锥曲线的有理表示与球域曲面的边界表示由于直接关系剑几何设计系统的功能、质晕、精度及效率而成为当前的研究热点之一.然而它们迄今未在理论上有所突破.面对这种挑战,作者以应用数学为工具、以现代工业为背景开展深入研究,从根本上攻克了上述难题,建立起一系列方便高效的几何算法.取得了以下丰富的创新性理论成果： 1.在曲面降阶逼近方面：发现了三角Jacobi基是统一地实现三角曲面显式、最佳、约束降多阶的一个锐利工具,并成功地把其应用到算法设计.借助于三角Bernstein基与三角Jocobi基的转换关系,将三角Jacobi基的正交代数性质引入到几何逼近之中,自然地诱导出三角Bezier曲面带角点约束和无角点约束的一次性降多阶的简单直观算法。使之具有以往各类曲面降多阶方法所不能同时拥有的四个特点--误差预测、显式表达、机时最少、精度最佳,即：第一,降阶前可迅速判断是否存在满足给定误差的降多阶曲面从而避免了无效降阶；第二,全部降多阶运算可被归结为对曲面的控制顶点按词典顺序排序所写成的列向量执行一个简单的矩阵乘法；第三,此矩阵无需临时计算而是从数据库中直接调用：第四,这张降多阶曲面在L2范数意义下达到了最佳逼近效果.特别,对于带角点约束的曲面降阶,此算法可保持降阶曲面的边界曲线在角点处达到高阶连续；并且可以利用Foley-Opitz平均方案使降阶曲面片达到全局C1的连续阶,与曲面细分技术结合应用,更能够适合计算机辅助几何设计(CAGD)系统的造型要求。 2.在曲线降阶逼近方面：发明了广义逆与分块矩阵相结合的代数方法以及正交基运算与二次规划相结合的优化方法,实现了参数曲线或恻域曲线在高精度与高效率下的带端点约束降多阶.对于Said-Bezier型广义Ball曲线(简称SBGB曲线),推导出其升阶矩阵公式,并根据SBGB基的分段表达式,给出了该曲线端点处的各阶导矢公式及相应矩阵表示；在此基础上,应用广义逆矩阵与矩阵分块原理,得到了SBGB曲线在保端点任意阶连续性的条件下一次性降多阶的显式算法.对于圆域Bezier曲线,利用Jacobi多项式的正交性,给出在L2范数下原圆域Bezier曲线的中心曲线的一次性最佳降多阶逼近,作为降阶圆域Bezier曲线的中心曲线；然后,利用Bernstein基与Legendre基的转换公式以及Legendre基的正交性,把降阶圆域Bezier曲线最佳逼近半径的算法,转化为带约束条件的一个二次规划问题的求解.以上两种方法都具有操作简单、精度高、速度快的特点。 3.在三角曲面导矢逼近方面：发现了升阶公式与差分算子是三角参数曲面导矢逼近的两个犀利武器,并成功地进行了演绎推理.利用一系列恒等式变换及优化的缩写符号,结合缜密的不等式技巧,推导出有理三角Bezier曲面一、二阶偏导矢界的一种精密估计,并证明了新的导矢界在精确性与有效性上优于现有的导矢界,进一步提升且强化了几何设计系统的功能。 4.在圆锥曲线的有理表示方面：创造了按照可降阶与可不适当参数化这两种代数分类条件去研究有理四次Bezier圆锥曲线几何特征的新思想与新方法.将有理四次Bezier圆锥曲线归结为两种特殊类型,即可降阶的以及可不适当参数化的.在此基础上,基于对线性凸组合的代数晕及三角形面积的几何最的严密分析,得到了圆锥曲线有理四次Bezier表示的充要条件,使之可被分解成关于Bezier点和权因子这样两部分.利用此条件给出了两种新算法,其一为判断一条有理四次Bezier曲线是否为圆锥曲线,属于何种类型；其二为对于一条已知的圆锥曲线,给出其有理四次Bezier形式下的控制顶点位置和权因子值.这些结果不但丰富了几何计算的学科理论,而且扩充了几何造型与几何设计系统的有效应用范围.在这一研究的基础上,借助低次Bernstein基与同次Said-Ball基或DP-NTP基之间的转化关系,又分别推导出有理低次Said-Ball圆锥曲线和有理低次DP-NTP圆锥曲线表示的充要条件,并给出了相应的曲线造型新算法。 5.在球域曲面的边界表示方面：创造了微分几何的包络原理与Legendre代数式的正交原理综合运用的新的分析方法.借助经典微分几何中双参数曲面族的包络原理,运用球面参数坐标和Cramer法则,首先给出了球域Bezier曲面边界的精确的显式表达式.再利用Legendre多项式的正交性,得到其精确边界用多项式形式表示的最佳甲方逼近.进一步利用Legendre基与Bernstein基的转换公式,将这种曲面的近似边界用CAGD系统中最常用的Bezier形式表示,因而更适合应用到外形设计系统中。