图像复原算法的研究具有理论意义和重要应用价值。在图像复原问题中,一般假定图像降质过程是由点扩散函数造成的图像模糊过程和噪声污染过程组成,其数学模型可以表示为：f(n1,n2)=(h*u)(n1,n2)+γ(n1,n2)(1)其中,u,h,γ分别表示原始图像,点扩散函数(PSF)和加性噪声,*”表示卷积算子。图像复原的目的就是通过退化图像f来得到原始图像u的一个精确估计。由于噪声的影响,图像复原问题是病态的。为了解决这类病态问题,我们需要对想要复原的某些图像有一些先验信息,这个先验信息能够改善复原问题的病态性且可以帮助我们复原出丢失的信息。针对退化图像的复原问题,本文的工作主要包含如下几个方面：一.提出了一种基于梯度的图像复原算法。从退化图像中复原出原始图像是病态问题,我们需要通过某种方法来改善这种病态性。基于全变差正则化方法因其良好的边缘保持特性常常被用来复原图像,并且复原的结果具有稳定性。在本文中,我们提出了一种基于梯度的图像复原算法。与传统的基于全变差正则化复原算法相比,本文提出的算法能够获得较高的图像质量。该算法主要包括以下两个步骤：1)水平和垂直方向差分图像的复原。对于退化图像,我们先利用全变差模型复原出图像的水平和垂直方向的差分图像。通过这一步,在抑制噪声的同时可以得到图像大部分的边缘信息。a)首先对退化图像进行离散傅里叶变换,在傅里叶空间中,得到相应的水平和垂直差分图像。给定大小为N×M的退化图像f,其水平差分图像fx和垂直差分图像fu的傅里叶变换通过如下式子得到：F(ux)k1,k2=(1-e-i2k1π/N)F(u)k1,k2(2)F(uy)k1,k2=(1-e-i2k1π/M)F(u)k1,k2(3)其中,F表示傅里叶变换。b)利用基于全变差复原算法分别复原出水平和垂直差分图像。水平和垂直退化图像分别具有如下形式：fx=h*ux+γx(4)fy=h*uy+γy(5)其中,γx=F1((1-e-2πik1/N)(Fγ))(6)γy=F1((1-e-2πik2/M)(Fγ))(7)这里,F1表示傅里叶逆变换。求解上述两个方程,分别得到水平差分图像ux和垂直差分图像uy的估计ux和uy。2)原始图像的估计。利用估计出的差分图像ux,uy和退化图像f,通过解一简单的含有惩罚项的最小均方问题来得到原始图像u的估计u。其公式表示如下：u=argmin{||ux-ux||2+||uy-uy||2+β(||ux||2+||uy||2)原始图像的估计u的傅里叶形式可写为：其中,A1=1—e-i2k1π/N,A2=1—e-i2k2π/M,U,U,Uy,U,H,F分别表示u,ux,uy,u,h和f的傅里叶变换,A1,A2,H分别表示A1,A2和H的复共轭,上式中的加、乘和除算子都是逐点进行的。二.提出了一种基于指导滤波的保持边缘的图像复原算法。该算法是基于指导滤波而提出的。指导滤波能够较好的保持图像边缘并且执行速度快。指导滤波可以表示为g=guidfilter(I,p,ω,ε),其中,ω是选择窗口的大小,ε>0是正则化参数,I表示指导图像,p表示待滤波图像,q是滤波后图像。本文提出的图像复原算法分为去模糊和去噪两个步骤。1)去模糊。在这一步中,我们提出了如下两个目标函数：其中,uE是预估计图像,可以预先设定,λ>0是正则化参数。通过上述两个目标函数,我们可以得到两幅图像uI和up。这两幅图像的模糊已基本去除,但图像up比图像uI包含有更多的图像细节,但同时又包含有较多的噪声,所以考虑将其作为待滤波图像以得到更多的细节信息,而将u,作为指导图像。2)去噪。在上述去模糊过程中,噪声不可避免的被放大了。为了抑制放大的噪声和产生的虚假边缘,我们利用指导滤波来对估计出的图像up进行滤波,uI作为指导图像,其表达式为u=guidfilter(ul,up,ω,ε)。为了得到更好的图像复原效果,我们将去模糊和去噪两个步骤进行反复迭代以取得满意的结果。3)正则化参数的选择。在式子(10)和(11)中,我们注意到图像的去模糊效果很大程度上依赖于正则化参数λ的选择。为了选择合适的正则化参数λ,我们提出了一种简单而有效的方法来自动计算该参数。其计算公式如下：其中,ρ的计算公式如下：这里,μ(f)表示f的均值,σ表示噪声的方差。三.提出了一种基于分离的图像复原算法。在该算法中,我们将图像分成平滑图像和细节图像两个部分,各部分通过不同的方法分别进行复原。基于L0梯度最小化复原算法能够捕捉图像的主要轮廓和结构边缘信息,可以得到比较好的平滑效果,所以我们将其应用于图像平滑部分的复原。波原子变换是最近提出的一种半尺度半方向变换,与其它多尺度变换工具相比,它能够更稀疏的表示图像的震荡纹理和定向纹理特征。由于这一重要特性,我们将其应用到细节图像的复原中。在一些基于多尺度变换的图像复原中,由于阈值收缩时导致的振铃效应,得到的复原图像往往包含有一些振铃和虚假边缘。因此,基于波原子变换的复原图像同样也包含有振铃。为了保证图像的纹理特征在复原中能够得到较好的保持,又能减少振铃效应,我们采用空域滤波的办法来进行消除。本文提出的算法主要包括如下几个步骤：1)图像平滑部分的复原。对于图像平滑部分的复原,我们提出了一种基于L0梯度最小化的图像复原算法。该算法可以在平滑图像的同时,有效的保持图像的轮廓结构和主要边缘。对每一像素p,梯度▽up=((?)xup,(?)uup)T为沿着x和y方向邻近像素间的像素差分,这里p=(n1,n2)。L0梯度度量表示如下：C(u)=(?){p||(?)xup|+|(?)uup|≠0}(14)它计算的是那些梯度幅|(?)xup|+|(?)yup|不为零时p的个数。原始图像平滑部分的初始估计u1通过解如下式子求得：2)图像纹理细节的提取。在第一步中,我们复原出了图像的主要轮廓结构部分,丢失了一些细节信息,我们需要将这些丢失了的纹理细节找回来,对此我们提出了利用波原子域Wiener滤波来提取细节图像。a)残差图像的Fourier正则化复原(FbRD)。在复原出轮廓结构图像u1后,丢失的细节图像可以表示为残差图像△u：△u(n1,n2)=u(n1,n2)-u1(n1,n2)(16)残差图像△u的FoRD估计△uα的傅里叶形式为：其中,△Uα,ΓHα分别表示残差估计图像△u。和遗漏的噪声γα的离散傅里叶形式。b)波原子域的Wiener滤波。残差图像在傅里叶正则化这一步后,△uα中的噪声γα大量减少,利用如下波原子域Wiener收缩来去除△u。中的遗漏噪声：其中,u△uα,μe是ω△uα,μ硬阈值收缩后估计的波原子系数,σα,μ2为波原子角标μ下波原子域的噪声方差,Ψμ是波原子φμ的离散傅里叶变换,β是正则化参数。计算ω△uα,μ的波原子逆变换,得到基于波原子的估计△uαω。3)振铃效应的处理。使用波原子进行图像去噪和复原会产生振铃效应,振铃效应使得图像失真而且会影响人们的视觉效果。为了解决这类问题,我们使用改进的非局部均值滤波来处理由波原子域Wiener滤波产生的振铃效应,这种方法能够在保持图像纹理细节的同时减少振铃效应。我们得到初始的复原图像u表示为u(n1,n2)=u1(n1,n2)+△uαω(n1,n2),(n1,n2)∈Ω(19)我们利用相似块来计算点与点之间的相似性,这样能够起到纹理保持的效果。利用改进的非局部均值滤波得到最终的复原结果ufinal：这里,权重ω([t,l],[i,j])包含空间权重和强度权重两部分,其定义如下：ω([t,l],[i,j])=ωs([t,l],[i,j])ωr([t,l],[i,j])其中,这里,ΩB(i,j)表示以(i,j)为中心,窗口大小为(2B+1)×(2B+1)中点的集合,u(Ni,J)是中心在像素点(i,j)处、大小为(2L+1)×(2L+1)的图像块,Ga是标准差为a的高斯核函数。||u(Ni,J)-u(Nt,l)??2,a2是大小相同的两个像素邻域Ni,J与Nt,l之间的加权欧几里得距离。