本文主要研究几类丢番图方程.文章主要由三部分构成.1.第一部分,我们研究了广义费马方程,得到了下面几个结论:（1.1）设素数p满足br+1 = 2pt,其中r,t,6为正整数,且6 = 3,5 （mod 8）,则丢番图方程x2+bm=pn只有一组正整数解（x,m,n） = （pt-1,r,2t）.进而,如果6 = q是奇素数,并且r = t = 2,则上述方程满足下述条件之一时只有一组正整数解,这里条件（i） q三3,5,7 （mod 8）;条件（ⅱ）q ≡1 （mod 8）且d = 1或者d是偶数,其中d为素理想p在虚二次域Q（（?））的理想类群中的阶,p|p.（1.2）令p≠q为两个素数,则除去q = 2的情况外,方程p2m-qn=z2至多有一组非平凡解（m,n,z）.进而,丢番图方程x2m- yn=z2仅有有限组正整数解（x,y,z,m,n）,其中x>y是连续的两个素数.2.在第二部分,我们研究了乘法元上的加法性质,并得到了以下结果:（2.1）设K为一个代数数域,OK为其整数环.n是OK中的一个非零理想.任取剩余类环OK/n中元素a,定义（OK/n）* · a为a的一个轨道.首先,我们给出了任意两个轨道之和的轨道分解.其次,对两个轨道之和中的任意元素,我们得到了它在这两个轨道中不同分解个数的表达式.（2.2）我们给出了剩余类环上例外单位之和的表达式,并得到一个恒等式.3.在第三部分,我们考虑一类椭圆曲线E :y2 = x（x + 2tp）（x + 2tq）,其中t为非负整数,p < q为两个奇素数且满足q - p = 2s.我们给出了该椭圆曲线的秩与Shafarevich-Tate群（沙群）之间的关系.进而在BSD猜想成立的条件下,得到了一类椭圆曲线的秩.