粗几何是非交换几何近年来发展起来的重要研究方向。其主要目标是通过几何空间(如非紧完备黎曼流形、有限牛成群等)大尺度几何结构的信息，建立几何空间的几何、拓扑与分析之间的联系，并应用于解决其他重要问题，如Novikov猜测、Baum-Connes猜测，Gromov-Lawson—Rosenberg正标量曲率猜测等。本文研究粗几何领域的相关问题，主要有两部分组成。首先，介绍了同伦概念在粗几何中的不同实现方式，并对不同的同伦进行了分析，指出了它们之间的区别和联系。其次，作者推广并给出了相对双曲群上的Mineyev构造。 第一章粗几何意义下的同伦我们知道，对于几何空间可以计算相应的K一同调群，K一群得到空间的几何拓扑信息。而这些可计算空间的范畴可以通过同伦概念加以拓广。相应地，同伦概念在粗几何领域也有其实现方式，但是不同的作者从不同的角度引入了多个同伦形式。本节通过对粗几何领域内不同同伦实现方式的研究辨析，指出它们之间的细微差别与联系。在丰富例证的基础上，将粗意义下同伦概念的实质凸现出来。 第二章相对双曲群上的Mineyev构造在双曲群上，借助于Mineyev几何构造，可以证明双曲群町以粗嵌入到lp-空间。受此启发，我们将此几何构造相应地推广到相对双曲群上。此构造有助于对相对双曲群的几何学有更具体的理解。