【摘 要】
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本文着力于为带有旋转角动量的确定性及随机Gross-Pitaevskii（GP）方程设计分裂高阶紧致差分格式.由多种物理效应综合作用在一起的GP方程数值求解起来非常困难,特别是多维问题.为此利用分裂方法将其分为线性子问题和非线性子问题,再用局部一维法将多维的线性子问题分为形式上的一维问题.非线性子问题可以通过逐点质量守恒定律精确求解,线性子问题应用高阶紧致方法进行离散.并对数值算法的稳定性和质量守
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本文着力于为带有旋转角动量的确定性及随机Gross-Pitaevskii（GP）方程设计分裂高阶紧致差分格式.由多种物理效应综合作用在一起的GP方程数值求解起来非常困难,特别是多维问题.为此利用分裂方法将其分为线性子问题和非线性子问题,再用局部一维法将多维的线性子问题分为形式上的一维问题.非线性子问题可以通过逐点质量守恒定律精确求解,线性子问题应用高阶紧致方法进行离散.并对数值算法的稳定性和质量守恒性进行理论证明.最后通过数值实验验证了格式在数值模拟时的高效性,得到了所期望的误差精度,同时具有质量守恒性.本文结构安排如下:第一章主要对带有角动量旋转项的确定性及随机GP方程的物理背景及国内外研究现状进行了分析讨论.第二章研究了构造数值格式过程中需要利用到的一些预备知识,主要有高阶紧致方法、时间分裂方法、局部一维方法.第三章构造了确定性GP方程的分裂高阶紧致差分格式.其基本思想是利用分裂方法将其分为分裂误差为一阶和二阶精度的子问题,时间方向应用Crank-Nicolson（C-N）格式,空间方向采用高阶紧致方法进行离散,得到一阶分裂高阶紧致格式和二阶分裂高阶紧致格式.证明了数值格式无条件稳定,并保持质量守恒.最后用数值算例验证格式的效率和不同参数对精度及误差阶的影响,模拟GP方程在不同时刻的波形图,并验证格式的理论结果.第四章首先对随机GP方程的随机项进行理论分析,证明其满足质量守恒能够精确求解,然后构造分裂高阶紧致差分格式.其基本思想是采用高阶紧致方法对空间进行离散,利用C-N格式对时间进行离散.证明了数值格式无条件稳定,并保持质量守恒.最后利用数值实验验证格式的误差收敛阶及理论结果,并模拟不同噪声对随机GP方程波形图的影响.第五章对论文所做工作进行总结,并对将来要做的工作进行展望.
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