小波方法求解偏微分方程主要借助谱方法、有限差分方法、有限元法与自适应策略的优点，对于偏微分方程的奇异性和瞬时突变性问题能得到高精度表示。但是，传统小波数值方法的不足之处就是处理边界条件较为繁琐，并且不适合于复杂区域和不规则采样的实际需要。本文根据提升格式理论，构造了第二代小波，同时，研究了第二代小波在偏微分方程求解中的应用，形成了基于第二代小波的自适应数值算法。主要完成了以下的工作：　　 (1)介绍了第二代小波的基本概念，根据提升格式的基本理论，利用样条插值构造了一组新的预测算子和更新算子，由此构造的第二代小波在保证其振幅衰减，局部非零，具有波动性特征外，其正则性较高；同时实现了基于样条插值的第二代小波变换，验证了其提取高频信号的有效性，给出了用第二代小波稀疏表达式来进行函数逼近的方法。　　 (2)根据第二代小波变换计算效率高和易实现自适应的特性，将微分方程的数值解映射到小波系数空间，参考小波系数选择合适的阈值，构造自适应网格。在大于阈值的小波系数所对应的区域内，用径向基函数插值方法进行网格细化，适当增加小波函数的尺度，提高基函数的分辨率，因而能捕捉到数值解的突变结构；同时，将小波逆变换引入到方程数值解的逼近过程中，避免了直接在小波基上的运算,提高了算法的执行效率。在自适应网格上关于空间变量的导数计算采用变步长的有限差分法，在时间方向上用向前差分进行迭代求解。