【摘 要】
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分形几何学提供了研究不规则几何对象的思想、方法和技巧.分形集的各种维数,如常用的Hausdorff维数、（上、下）盒维数、Packing维数等,给出了它的复杂性的一种刻画.然而,这些维数在同胚映射下常常会发生改变.人们发现一个集合在双李卜希兹映射下其维数不会发生变化,即在维数的意义下双李卜希兹映射不会改变集合的复杂性.这是因为双李卜希兹映射很“接近”自相似映射,它在某种程度上保持了集合的几何结构.
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分形几何学提供了研究不规则几何对象的思想、方法和技巧.分形集的各种维数,如常用的Hausdorff维数、（上、下）盒维数、Packing维数等,给出了它的复杂性的一种刻画.然而,这些维数在同胚映射下常常会发生改变.人们发现一个集合在双李卜希兹映射下其维数不会发生变化,即在维数的意义下双李卜希兹映射不会改变集合的复杂性.这是因为双李卜希兹映射很“接近”自相似映射,它在某种程度上保持了集合的几何结构.由于具有相同维数的两个集合它们的几何结构会有很大的差异,从而它们之间不一定能建立双李卜希兹映射.因此,双李卜希兹映射是被用来作为对具有相同分形维数的集合类从几何结构角度来进行进一步分类的强有力的工具.我们说两个集合是李卜希兹等价是指它们之间可以建立双李卜希兹映射.最近数十年来,人们对集合间的李卜希兹等价性问题进行了深入的研究并取得了大量有趣的结论.目前已取得的结果主要集中在研究自共形集（它包含了自相似集）及某些具有自共形集类似的局部几何性态的集合类的李卜希兹等价性问题.而对于自仿集,由于其局部几何性态与自共形集的局部几何性态差异很大,目前人们对其李卜希兹等价性的研究较少.本文将研究一类特殊的自仿射集合类-自仿射Lalley集合类的李卜希兹等价性问题,在某些附加条件下得到自仿射Lalley集合类的李卜希兹等价性的若干结果.集合的Assouad维数是用于刻画其几何结构的一个重要指标,它源于集合的“加倍”性质.集合的Assouad维数的一个重要性质是它总是不小于该集合的上盒维数.对于一些经典的分形集合,如满足开集条件的自相似集合等,人们证明了它们的Assouad维数恰好等于其上盒维数.本文将对一类比自相似集合更为广泛的集合类一Moran集合类进行研究,确定它们的Assouad维数.所得结果表明Moran集的Assouad维数可以严格大于它的上盒维数.本论文各章节的安排如下：（一）第一章介绍分形几何中一些常见的分形集维数及和本文所研究问题相关的一些进展及最新结果.（二）第二章证明白仿射Lalley集类中任意两个满足“似尘”（dust-like,即满足强分离条件）条件的集合的李卜希兹等价性.（三）第三章,我们考虑自仿射Lalley集类中两个集合,不要求“似尘”条件,取而代之要求满足HBSC条件（即纵向块分离条件）及同一行的横向压缩比相等,证明这样的两个集合的李卜希兹等价性.“似尘”的缺失会给双李卜希兹映射的构造带来极大困难.（四）第四章,我们考虑有向图自仿射Lalley集类,得到有向图自仿射Lalley集类中任意两个满足“似尘”条件的集合的李卜希兹等价性.（五）第五章,我们给出莫朗集的Assouad维数.
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