本文提出了Walsh函数的一种新的排序方式——类Walsh序,介绍了它的一些重要性质,设计了几种基于该序的Walsh变换的快速算法并讨论了它的一个特有的应用.结合本文的研究,比较系统的介绍了Walsh函数系的基本理论和应用的最新进展.本文的主要内容和结果可以归纳为如下几个方面:1.系统地回顾了Walsh函数系的基本理论.主要包括传统的五种序的Walsh函数的统一的数学定义以及这些序的Walsh函数分别基于复制技术和二分演化技术的演化生成.在此基础上,本文给出了这些序相应的Walsh阵的递推形式,并据此利用二分演化技术设计了Walsh变换的快速算法.最后还给出了它们的诸如并元移位定理这样的重要性质.2.从Walsh函数的序与序数编码的关系出发,提出了一种新的Walsh函数序——本文称之为类Walsh序,详细讨论了它的数学定义方法,给出了它的Walsh阵的递推形式,类似的,给出了该序的Walsh函数分别基于复制技术和二分演化技术的演化生成.考察了它的一些相关性质,如完全的奇偶块复制特性,给出了它与其他已知的序的一些内在联系.最后还利用二分演化技术设计了几种基于这种序的Walsh变换的快速算法.3.回顾了数值求解偏微分方程的谱方法,比较深入地考察了数值求解偏微分方程的Walsh谱方法,提出了一种新的设计"求导算子"的方法,基于这样设计出来的"求导算子",提出了一种新的基于类Walsh序的Walsh函数的Walsh谱方法,初步验证了这种序的特殊价值.数值例子的结果表明,这种新的Walsh谱方法精度更高且设计方法更灵活,只是计算量稍微偏大.