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非线性矩阵方程是矩阵理论和数值代数研究的重要领域之一.此类方程被广泛的应用在阶梯网络，控制论，动态规划，随机筛选以及统计学等许多领域.而在所有的应用当中我们关注最多的则是方程的Hermite正定解，因此我们只讨论此类方程的Hermite正定解的情况.本文研究非线性矩阵方程X-A*X-qA=I(1)的Hermite正定解，其中A是n×n阶复矩阵，I是n×n阶单位矩阵，A*为矩阵A的共轭转置矩阵，q＞1.本文给出了此方程的Hermite正定解的一些性质以及存在唯一的Hermite正定解的更加宽泛的充分条件;同时利用同伦延拓法给出了求Hermite正定解的数值解法;根据Rice的条件数理论定义方程Hermite正定解的条件数，并导出条件数的显示表达式;最后给出数值例子来验证文中所得结论的正确性.本文的主要结果如下:
引理1对任意复矩阵A，方程(1)总有解X，并且有X∈（I，I+A*A].
引理2对于实数x，y有:
(1)若0＜x，y＜1/√q-1，则0＜xy[(1+y2）q-(1+x2)q]/(y2-x2)(1+x2)q/2(1+y2)q/2＜1;
(2)若x，y＞1/√q-1，则xy[（1+y2）q-(1+x2)q]/（y2-x2）(1+x2)q/2（1+y2)q/2＞1定理1对任意的复矩阵A，存在酉矩阵P，Q，以及对角矩阵Γ＞I，∑≥0，使得A=P*Γq/2Q∑P，其中Γ-∑2=I.此时，X=P*ΓP是方程(1)的解.
引理3若任意的矩阵A∈(C)n×n满足不等式(q/q-1）q[（q-1）1/qλ1/qmax(A*A)-1]＜λmin(A*A)≤λmax(A*A)＜1/q-1(q/q-1）q则方程X-A*X-qA=I在区间[I+（q-1/q）qA*A，q/q-1I上有解.
定理2对任意复矩阵A，设X，Y＜q/q-1I是方程(1)的解，则有X=Y.
定理3令α是下面方程的最大正解(x-1)(1+λmin(A*A)/xq)q=λmax(A*A).β是下面方程的最小正解（x-1）（1+λmax(A*A）/xq)q=λmin(A*A).可得β≤α，（α-1）βq=λmax(A*A)，（β-1）αq=λmin(A*A).若λmax(A*A)＜βq/q-1则方(1)程存在唯一正定解X，且βI≤X≤αI＜q/q-1I.
定理4λmax(A*A)＜βq/q-1成立的充要条件是(q/q-1）q[（q-1）1/qλ1/qmax(A*A)-1]＜λmin(A*A)≤λmax(A*A)＜1/q-1(q/q-1）q.
定理5设X，Y＞q/q-1I是方程(1)的解，则有X=Y.
定理6若矩阵A满足{(q/q-1)q[[(q-1)AA*]1/q-I]＜A*AAA*＞1/q-1（q/q-1）qI则方程(1)在区间[q/q-1I，[(q-1)AA*]1/q]里有唯一的Hermite正定解.
定理7若A满足不等式(q/q-1）q[(q-1)1/qλ1/qmax(A*A)-1]＜λmin(A*A)≤λmax(A*A)＜1/q-1(q/q-1）q，则对任意的t∈[0，1]，方程X-tA*X-qA=I都存在唯一的Hermite正定解并且X＜q/q-1I.
引理4设矩阵函数F(X)=I+A*X-qA，若方程X=F(X)的正定解X*在区间[I，q/q-1I]里是唯一的，则存在X*的邻域:‖X-X*‖＜δ，使得对(V)X0∈N（X*，δ），有Xn=F（Xn-1）迭代收敛到X*.
定理8假设A满足不等式(q/q-1）q[（q-1）1/qλ1/qmax(A*A)-1]＜λmin(A*A)≤λmax(A*A)＜1/q-1(q/q-1）q则在区间[0，1]上存在一组分点:0=t0＜t1＜…＜tn=1和整数序列jk，k=1，…，n-1使点列Xk，j+1=G（Xk,j，tk），j=0，1，…，jk-1Xk+1，0=Xk，jk，X1，0=I，k=1，…，n-1有定义，其中G(X(t)，t)=I+ tA*X-qA.并且当j→∞时，矩阵序列Xn,j+1=G(Xn,j，1),j=0,1，…收敛到X(1).
引理5若A=aU，其中a∈(C)，U是一个酉矩阵，则方程(1)有唯一的解X=ωI，这里ω是下面方程的唯一正解ω=1+|α|2/ωq.
定理9设A=M(∧)N，M，N为酉矩阵，(∧)为对角矩阵，η是A最大的奇异值.令B(t)=M[t(∧)2/q+（1-t)η2/qI]2/qN，t∈[0，1].若矩阵A满足不等式（q/q-1）q[[(q-1)AA*]1/q-I]＜ A*AAA*＞1/q-1（q/q-1）qI则对(V)t∈[0，1]，方程X-B*(t)X-qB(t)=I都存在唯一的Hermite正定解X，且X＞q/q-1I.
引理6令F1(X)=[A（X-I）-1A*]1/q，若方程X=F1(X)在区间[q/q-1I，∞]里的正定解X*是唯一的，则存在X*的邻域:‖X-X*‖＜δ，使对(V)X0∈N(X*，δ)，有Xn=F1（Xn-1）迭代收敛到X*.
定理10若矩阵A满足不等式(q/q-1)q[[（q-1）AA*]1/q-I]＜A*AAA*＞1/q-1(q/q-1)qI则在区间[0,1]上存在一组分点:0=t0＜t1＜…＜tn=1和整数序列jk，k=1，…，n-1使点列Xk，j+1=G1（Xk,j，tk），j=0，1，…，jk-1Xk+1,0=Xk,jk,X1,0=ξI,k=1，…，n-1有定义，其中G1(X(t)，t)=q√B(t）(X-I)-1B*(t)，ξ=1+η2/ξq.并且当j→∞时，矩阵序列Xn,j+1=G1(Xn,j,1)，j=0,1,…收敛到X(1)即方程X-A*X-qA=I的解.