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无非零幂零元的环称为约化环（或简约环）.Armendariz最先发现约化环R满足下述条件:对R上的任意多项式f（x）= 0 a1 + aax十…十gmxm,b（x）= +0十十…n,当f（x）g（x）= 0时,必有aibj= 0,0 ≤ i≤m,0 ≤ j ≤ n.受此启发,Rege和Chhawchharia研究了满足上述条件的环,并称之为Armendariz环.从此以后,Armendariz环及其各种推广得到了广泛研究.我们将把上述条件称为Armendariz条件.Anderson和Camillo利用Armendariz环给出了 Gauss环的刻画,Hirano利用Armendariz环描述了 R与R[x]中左零化子之间的关系.从Armendariz环的定义可以看出,Armendariz环的子环是Armendariz环.但是,Armendariz环的商环未必是Armendariz环.因此,有两个自然的问题:1.Armendariz环的哪些扩环仍是Armendariz环?2.Armendariz环的哪些商环仍是Armendariz环?本文讨论群环、平凡扩张、矩阵子环、多项式代数关于单项式理想的商环的Armendariz条件.在第二章,我们讨论了域上群代数与一般群环的Armendariz性质.证明了在大多数情况下,群代数是Armendariz环当且仅当它是约化环.这表明,刻画Armendariz群代数本质上等价于解决群代数的零因子问题.所谓零因子猜测是指:域上的扭自由群代数是约化的,这是群环理论中的著名难题.对于一般群环,我们的研究表明循环群的群环和四元数环是研究群环Armendariz性质的关键.我们还讨论了 Hamilton四元数除环上群环的Armendariz性质.设K8表示8阶四元数群.定理2.2.12.设R是2-扭自由的、约化的、交换环.则下述命题等价.1.RK8 是 Armendariz 环;2.RK8是约化环;3.x2 + y2 + z2 = 0在R中没有非零解.定理2.2.21.设F是域,G是扭群或扭自由群.则FG是Armendariz环当且仅当或者FG是约化环,或者chF = p>0,G是扭Abbel群,并且G的p-分量是循环群或拟循环群.定理2.2.22.1.群G的复群代数CG是Armendariz环当且仅当G的所有特征为0群代数都是Armendariz环.此时,G的扭子群T是Abel群.2.群G的所有群代数都是Armendariz环当且仅当G在所有有限域上的群代数都是Armen-dariz 环.设T是群G的有限阶元素之集,并设T是G的子群.令△（G,T）=RG（1-T）.定理2.3.5.设R是2-扭自由的.则RK8是Armendariz环当且仅当四元数环H（R）是Armendariz环.定理2.3.8.若RG是Armenndariz 环,则1.T是G的子群;2.△（G,T）是 Armendariz 环;3.R（G/T）是 Armendariz 环.反之,若上述条件成立,并且｜T｜是无限的或者｜T｜有限且在R中可逆,则RG是Armendariz环,设H是四元数除环.定理2.4.5.设T是扭群,则群环HT是Armendariz环当且仅当T是初等Able 2-群.定理2.4.7.设n是正整数,q ∈H,则H[x]/（xn+q）是Armendariz环当且仅当下列条件之一成立（1）q = 0;（2）q 不是实数,（3）n = 1;（4）n = 2 且 q 是负实数.定理2.4.9.设f（x）是实系数多项式,且degf = ≥ 1,则H[x]/（f（x））是Armendariz环当且仅当f（x）在实数域中有n个根（计重数）.在第三章,我们讨论广义矩阵子环（特别是平凡扩张的子环）的Armendariz性质.给出了平凡扩张的子环的构造,讨论了平凡扩张的子环是Armendariz环的充分条件和必要条件,推广了已有的结果.定理3.1.5.设M是R-双模.给定M的子双模K及导子d:R → M/K,令则Td,K是平凡扩张R ∝ M的子环且满足π（Td.K）=R.反之,R ∝ M的满足π（T）=R的子环T都可这样构造.设Φ:A → B是环的映射（不必是同态）.如果对于任意满足b1b2 = 0的b1,b2 ∈ B都存在a1,a2 ∈AA使得Φ（a1）=)，Φ（a2）= b2,a1a2=0,则称Φ保零积.定理3.2.2.设有保零积的环同态Φ:A[x]→ B[x]使得Φ（A）（?）B且Φ（x）= x.若A是Armendariz环,则 B 是 Armendariz环.定理3.2.3.设AB是两个环且B是Armendariz环.如果映射Φ:A → B保零积,则其扩张映射Φ:A[x]→ B[x]也保零积.定理3.2.7.设T是R ∝ M的子环且π（T）=R.1.如果 T 是 Armendariz 环且 Annr（Annl（M0））= M0,则 R是 Armendariz 环;2.如果T是Armendariz环,π｜T保零积,则对于满足fg=0的f,g∈R[∈ 恒有｜fMg ∈∩Mf（-g）｜ = 1.3.如果R是Armendariz环,M是Armendariz双模,并且对于满足f分=0的f,分∈ R[x]恒有fMg ∩ Mf（-g）=0,则 T 是 Armendariz 环.定理3.2.8.设T是R∝M的子环使得π（T）= R且 π｜T保零积.假设R是Armendariz 环,M是 Armendariz 双模.如果 T 是 Armendariz 环,则 R ∝ M0 是 Armendariz 环.设M是R双模,σ,T是R的自同态.记aσ = σ（a）,a ∈R.令R ∝TσM = R×M且有乘法如下贝R ∝Tσ M是有单位元的环.我们刻画了 R ∝Tσ M是Armendariz环的充分必要条件.定理3.3.2.设R是环,M是R-双模,σ,T是R的自同态.则R ∝Tσ M是4rmendariz环的充分必要条件为:1.R 是 Armendariz 环;2.M 是 Armendariz（Rσ,Rτ）-双模;定理3.3.5.设σ:→ A和τ:R → B是环的满同态,M是（A,B）-双模且通过纯量限制视为R-双模,令则T（R,σ,T,M）是 Armendariz 环当且仅当R ∝ M 是 Armendariz 环,其中R=R/（kerσ∩ker T）.设α是R的自同态,如果对于任意a,b ∈ R均有aα（b）= 0当且仅当ab = 0,则称α是R的相容自同态.设n ≥ 2是任意正整数,令其中=[n/2],即当n为偶数时,n = 2k;当n为奇数时,= 2k+ 1.定理3.4.6.若R是约化环,α1,α2,…,αn是R的相容自同态.则在Un（R）的主对角元上依次作用α1α玖2,.,αn,所得到的矩阵环的子环Sn（R）是Armendariz环.在第四章,我们讨论了K,xd]/I的Armendariz性质,其中K是域,I是单项式理想.设I是R的理想,如果理想商环R/I是Armendariz环,则称I是Armendariz理想,简称A-理想.定理4.2.10.设I,J都是R的不可约单项式理想.假设IJ,J（?）I,且不全是A-理想.那么In J是A-理想当且仅当I,J是如下情形之一:在下面的几个定理中,花括号下方数字表示单项式的次数.定理4.3.1.设k为非负整数.若G（I）是下列三种情形之一,mjI是A-理想..定理4.3.2.若I的极小生成集为则I是A-理想.定理4.3.4.设c>2,k,l≥0.若I的极小生成集是下列情形之一,则I是A-理想:定理4.3.5.设c>1,q>3.若I有如下形式的极小生成集,则I是A-理想:定理4.4.6.设I是A-理想,则T（I）内行（列）距不超过6的两个格点的整点凸包必含于Γ（I）.