平均有理逼近解非线性边值问题

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在许多实践问题中,事物都是以非线性的形式出现的.作为非线性逼近的一种重要特殊形式,有理逼近无论在实践还是在生活中都有着重要的特殊意义.它能解决传统逼近方法的不收敛性和不稳定性,是一个重要且具有强大生命力的课题.  传统的逼近方法有Taylor展开、Padé逼近、插值逼近和多项式逼近,但它们都有各自的缺点:Taylor展开在展开点附近有很高的精度,在较远的地方效果很差;Padé逼近利用了Taylor展开,同时也伴随了它的缺点;Lagrange插值逼近,一般地说其精度较好,这是现在使用较多的方法,但在有限区间上,当函数的曲率变化较大时逼近精度可能很差,例如Rung现象;多项式逼近应用较多,逼近效果也不错.本文是在文[35]的基础上,继续探讨一种比多项式逼近效果更好的逼近方法-平均有理逼近.  在函数大范围逼近中,平均有理逼近的效果要比多项式的逼近效果好很多.当函数变化比较剧烈时,常用的多项式逼近精度不是很高.在文[35]的基础上,首先,探讨了有界区域上的线性边值问题和非线性边值问题,基于变分极小化原理得到相应的二次泛函,将问题转化为求解一个非线性方程组,运用Newton迭代进行求解;其次,探讨了无穷实数域上的一维非线性Schr(o)dinger方程,用带有新基e-kx的有理逼近形式来逼近真解.
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