本论文主要研究的是拓扑图论里的一个重要问题，即图在曲面上的嵌入。　　本文研究的嵌入是胞腔嵌入，所关注的曲面是不可定向的小亏格曲面，包括射影平面，Klein瓶和可定向曲面.图的高亏格曲面上的嵌入依赖于它在低亏格曲面上的嵌入个数，因此，本文为高亏格曲面上的嵌入的研究奠定了一定的基础。本文研究的广义petersen图是拓扑图论中的重要图类之一.本文讨论了一类广义petersen图在小亏格不可定向曲面上的嵌入个数，另外还得到了一类图在可定向曲面的亏格分布.下面简要的介绍本文中各章的主要内容。　　第一章，首先对图论发展作了一简要的回顾，然后对曲面嵌入的相关概念及研究背景做了简要介绍，随后对曲面的多边形表示、代数表示、曲面分类，及曲面上的拓扑运算作了详细介绍，另外给出了嵌入的联树模型等.最后，对文章结构及各章内容进行了简介。　　第二章，以联树模型及曲面的多边形表示作为基础，研究了一类广义的pe-tersen图在射影平面和Klein瓶上嵌入的个数。　　第三章，利用联树法研究了一类图在可定向曲面上的嵌入，并得到了它的亏格分布。　　第四章，对文章进行总结，概述文章的主要结论以及对今后工作的展望。