波的共振现象存在于海洋工程和光学等领域,因此研究波共振的相关问题有着重要的理论和实际意义。在海洋工程领域,已有大量工作研究了线性和非线性波浪共振的问题,而这些工作主要集中在讨论共振波波幅的演化趋势以及共振波浪系统内部分量之间的能量周期交换。本文基于同伦分析方法,重点描述了一种稳态共振波浪系统,其中当共振条件满足时各个波分量能够达到一种平衡,互相之间没有能量交换,同时分析了这种稳态共振波浪系统与之前人们发现的波浪系统之间的联系。本文主要研究了如下问题:(1)研究了平坦底部之上水深有限情况下的稳态共振波浪系统。利用同伦分析方法求解了控制这种非线性波浪系统的非线性方程,发现了多个稳态的共振波浪系统,其中波分量的波幅是常数,各个波分量之间没有能量交换,即这种稳态共振波浪系统的能量谱与时间无关。此外,还发现共振波分量在有些稳态共振波浪系统中只含有小部分能量,而在另外一些稳态共振波浪系统中又占有了绝大部分能量。通过Zakharov方程的研究,证明了同伦分析方法所获得解的正确性,同时明确了稳态解与非稳态解之间的关系。(2)研究了具有单个基波的表面波浪系统与周期变化的非平坦底部之间所发生的共振,该底部在很大范围内分布着呈余弦函数变化的波纹,所考虑的波浪与底部之间的共振属于第一类布拉格共振。同样着眼于各波分量间没有能量交换的稳态共振波浪系统,发现了两种完全不同的稳态共振波浪系统,其中基波和共振波分量加起来都占据了系统的绝大部分能量。在第一种稳态共振波浪系统中,基波和共振波分量具有相同的波幅,而在另一种稳态共振波浪系统中,两者的波幅却截然不同。首次发现了这两种稳态共振波浪系统关于基波的传播角度、平均水深、波纹底部波陡以及非线性强弱这四者之间存在分叉现象。这些关于稳态第一类布拉格共振波的结果,以前从未见报道,证实稳态共振波及其多解存在的普遍性。(3)通过求解Korteweg-de Vries(KdV)方程研究了浅水中当有无穷多个共振发生时的稳态波浪系统。在同伦分析方法的框架内,通过适当地选取辅助线性算子建立合理的线性高阶形变方程,简单高效地克服了由于共振产生的所有奇点,成功地获得了当有无穷多个共振发生时的稳态波浪系统。