【摘 要】
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分数阶微分方程在科学计算领域有广泛的应用,如分数阶微分方程可以描述物理中的许多现象,特别的,分数阶扩散波方程可以准确地描述反常扩散现象.基于有限差分的微分方程的QTT
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分数阶微分方程在科学计算领域有广泛的应用,如分数阶微分方程可以描述物理中的许多现象,特别的,分数阶扩散波方程可以准确地描述反常扩散现象.基于有限差分的微分方程的QTT数值方法已经有了一些研究,但都是整数阶微分方程,分数阶微分方程的QTT数值方法目前还没有相关研究,解决这个问题的关键在于Caputo分数阶导数算子的QTT分解的构造以及空间紧致格式算子的QTT分解的构造,本文主要研究分数阶扩散波方程的QTT数值算法.首先,在Toeplitz矩阵QTT分解的基础上,得到了 Hankel矩阵的QTT分解,以及Toeplitz矩阵和Hankel矩阵的逆矩阵的QTT分解,并且指出了Toeplitz矩阵和Hankel矩阵的QTT分解的核之间的联系,二者的QTT核可以较为容易的相互转化.其次,分数阶扩散波方程离散格式主要有Caputo分数阶导数算子、拉普拉斯算子和空间紧格式算子.本文得到了 Caputo分数阶导数算子和空间紧格式算子的低秩QTT显示表示,并基于分数阶扩散波方程矩阵形式在整体结构上的特殊性,得到了方程的低秩QTT显示表示.最后,运用DMRG方法求解分数阶扩散波方程.得到了该问题比较精确的快速数值算法,数值实验表明QTT分解方法是解决这类方程的有力工具.
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