【摘 要】
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作为数值求解偏微分方程的重要方法之一,谱(元)方法因具有高精度(及对复杂区域的适应性)的优点,受到广大学者的关注.本文针对建立在有限区域上的三阶和五阶微分方程,提出Lege
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作为数值求解偏微分方程的重要方法之一,谱(元)方法因具有高精度(及对复杂区域的适应性)的优点,受到广大学者的关注.本文针对建立在有限区域上的三阶和五阶微分方程,提出Legendre-Petrov-Galerkin(LPG)谱元法进行求解,主要内容如下:(1)考虑三阶微分方程的LPG谱元法:首先对有限区域进行剖分,并给出问题的逼近形式;然后,我们在每个子区间上考虑问题,在其内部设置内部基函数进行数值逼近,在交面上设置交面基函数来耦合各个子问题;最后,引进一个快速的算法来求解得到的线性系统.通过引入一些投影算子,证明谱元逼近格式的收敛性.给出数值实验,说明算法的高精度.(2)考虑三阶偏微分方程的LPG谱元法.在计算过程中:对时间方向的离散,线性方程使用Crank-Nicolson(C-N)格式,非线性Korteweg-de Vries(KDV)方程使用Crank-Nicolson Leap-Frog(CN-LF)格式;把问题转化为每一个时间层上的三阶常微分方程问题来求解,再采用谱元逼近形式对空间方向进行离散、求解.数值算例说明算法是可行的.(3)考虑五阶微分方程的谱元逼近.和求解三阶微分方程一样,我们使用LPG谱元法求解五阶微分方程.通过构造恰当的内部基函数以及交面基函数,得到稀疏的线性系统,该系统也通过快速算法进行求解.数值例子表明,对于高阶奇次微分方程,谱元法也有很好的逼近效果.
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