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本文研究了所有正整数排列的一些性质,并给出了与2k+p形式整数相关的一个结论.
1.1983年,P.Erd(o)s,R.Freud和N.Hegyvári研究了正整数排列中相继两项的最大公约数和最小公倍数,他们证得对所有正整数的任一排列α1,α2,…,有lim supi[αi,αi+1]/i≥1/1-log2,lim infi(αi,αi+1)/i≤6/90.另外还构造了所有正整数的一个排列α1,α2,…,满足[αi,αi+1]0.
本文中我们改进了P.Erd(o)s,R.Freud和N.Hegyvári的两个结果,主要结论如下(前一结果被Acta Math.Hungar.录用,后一结果被南京师大学报录用):
(1)存在所有正整数的一个排列α1,α2,…,满足对任意ε>0存在i0使得因此,存在一个绝对常数c>0使得对任意整数i≥3,有(2)对所有正整数的任一排列α1,α2,…,都有2.设f(n)是2l+p=n的解的个数,其中p是素数,l是正整数。
1950年,P.Erd(o)s证明了对整数k≥2,有lim sup1/x∑1≤n≤x fk(n)<∞.2004年,陈永高和孙学功证明了∑1≤n≤x f2(n)≤24x.本文中我们考虑了k=3的情况.证明了对所有充分大的x,有（公式略）。